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costituiscono un sistema oo^ se Q — p — 1, ovvero se G p è iperellittica ; 

 due sistemi <x>p negli altri casi. 



C) Entro una varietà V ft chiameremo carattere d'immersione di una 

 Vft_! il numero dei punti comuni ad essa e a k — 1 varietà canoniche. Il 

 carattere d' immersione delle V^ di un sistema continuo si calcola facil- 

 mente mediante gli invarianti Sì (grado del sistema canonico) delle V^ 

 stesse e delle varietà comuni a 2 , a 3 , ... , a k delle V ft _! (per un gruppo 

 di n punti si assume 42 = n ; per una curva di genere p si assume Sì — 

 = 2p -2) 0). 



Ciò posto, nel § 5 io dimostro il seguente 



Teorema IV. — Nella varietà jacobiana Y p di una curva G p si 

 abbia una varietà V p bir. identica alla varietà delle q-ple di punti di 

 un'altra curva C p , e tale che nessun integrale di l a specie di Y p resti 

 costante su di essa. Se le "Wp_i di Y p segano su tal V p varietà aventi il 

 carattere di immersione 



Pi. (2p-Q- 2- k) ~ 2 ) (p - e - X 



X(p-l)(p-2)...(p-k), 



allora le curve G P G P sono bir. identiclie, e la Y p è una varietà W p . 

 Da questo teorema seguono subito gli altri due: 



Teorema V. — Se fra le varietà di lacobi Y P Y P di due curve 

 G p G p intercede una corrispondente biunivoca che muti una W p di Y p in 

 una W p di Y P , tal corrispondenza è associata a una corrispondenza bi- 

 univoca fra G p G p ( 2 ). 



Teorema VI. — Se fra le varietà delle q-ple di punti di due 

 curve C p C p (q <Cp) intercede una corrispondenza biunivoca^ questa è as- 

 sociata a una corrispondenza biunivoca fra G p C p . 



(!) Chiamando ìì^ P-o' ... i detti invarianti Sl (talché Sl^ è il grado delle 

 Yh—i), si ha per es.: 



per k =2: car. immers. = ilo — Ho ; 



per « = 3: car. immers. = iì — "-0 -f- olio ; 



e si calcola subito, per induzione, la formula generale. 



( a ) Nel caso Q = p — 1, questo teorema è stato recentemente dimostrato dal Comes- 

 satti [Atti Accad. Torino, voi. 50, 1914-15]]; e allora può anche (come lo stesso Comes- 

 satti avverte) dedursi immediatamente dal mio teorema ricordato al principio del n. 7. 

 Basta osservare che alla curva di Y p , imagine delle jo-ple di punti di C p con p — 1 

 punti fissi arbitrari, la corrispondenza di cui parla l'enunciato del teorema V (postovi 

 Q=p — 1) fa corrispondere una curva di \ p che incontra in p punti le Wp_i; e appli- 

 care il mio ricordato teorema. 



Quest'ultimo è poi essenziale anche per la dimostrazione del teorema V. 



