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Da questi due teoremi, supponendo che le curve C p C p siano sovrap- 

 poste, segue che 



Se la varietà jacobiana di una curva G p possiede una trasforma- 

 zione singolare che muti in sè la totalità delle W p , tal trasformazione 

 è associata a una trasformazione Irrazionale singolare (') di G p in sè. 



Se la varietà delle Q-ple di punti di mia curva G p possiede una 

 trasformazione singolare in sè, questa è associata a una trasformazione 

 birazionale singolare in sè di G p . 



§ 1. — Rappresentazione analitica 

 DI UNA corrispondenza algebrica fra due curve. 



1. Sia Cp una curva di genere p; y un suo punto variabile. Possiamo 

 rappresentare i punti y mediante i punti di una ciambella con p buchi R: 

 siano AjB,- (i — 1 , 2 , ... , p) le p retrosezioni su R; Vi(y) i p integrali 

 normali di l a specie; r,- s il periodo di Vi(y) lungo B ft (r, ft = T tó ). Osser- 

 viamo subito che, data G p , la corrispondenza fra i suoi punti e quelli di R 

 non è determinata in modo unico ; nè. per conseguenza, sono determinati 

 univocamente gli jp(p-\-l) numeri r ik . Il sistema dei T ih si dirà breve- 

 mente un sistema di periodi normali di G p . 



Sia poi G p un'altra curva di genere p; x un suo punto variabile; 

 R,AjBj, Ui(x), aix enti analoghi ai precedenti, e relativi a G p . 



Supponiamo che tra G p G p interceda una corrispondenza (nv) che, pen- 

 sata come operazione che porta da un punto di Cp a n punti di G p , chia- 

 meremo S; sia y'y" ... y n il gruppo degli omologhi del punto x di Cp. 

 Allora si hanno le classiche p relazioni di Hurwitz 



(1) v k (y') -j f- v k {y n ) = J. n * + "* (*= 1 . 2 , - ,p) {*), 



i 



dove le -t,; sono costanti e le n H verificano le eguaglianze 

 | 7i u = h hL -\- ]T g n T hi 

 I 2_ nu da = H ft; -f- 2_ Gai m , 



i i 



gli li g H G essendo numeri interi {intieri caratteristici di S). 



(') Le sole corrispondenze biunivoche non singolari, su curve di genere p^>l, 

 sono quelle date dalle delle curve iperellittiche. 



(•) In tutte le formule, quando non sia esplicitamente notato il contrario, gli indici 

 di sommazione variano da 1 a p. 



