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 Da queste si traggono le p 2 relazioni 



(2'\ X 9jt T v a-u + X hM an — X G« «"sì — H w = . 



' ' ji i i 



Se la corrispondenza S non è a valenza zero, i numeri n n non sono tutti 

 nulli ; e viceversa. E si noti che, coni' è facile vedere, i numeri n M sono 

 tutti nulli se, e solo se, lo sono i numeri hgKG. 



2. Per l'operazione S _1 (inversa della S), che porta da un punto y di G p 

 ai 'suoi omologhi x' a" ... a? , avremo similmente 



«*(»') H h = X ^ {y) + ^* i 



i 



e 



n M = fai -f- X ^ 

 t 



T j^si = H ft; -f- y g« « fti . 



Ora, i numeri h gRG si determinano facilmente, imitando il procedi- 

 mento che segue 1' Hurwitz nel caso che le curve C p G p siano sovrapposte 

 e si rappresentino allo stesso modo su un'unica ciambella (talché r lft = a tft ). 

 Si trova così 



= Glk , Qkl = Qlk , H ft ; = H; ft , Gft; = Ajft . 



3. Vediamo adesso facilmente che 



Se p > 1 e il determinante II dei numeri n u è diverso da zero, 

 non possono esistere su G p , nè su G p , infinite coppie di punti i cui gruppi 

 omologhi siano equivalenti o coincidano. 



Infatti, se ogni gruppo {y'y" ...y n ) fosse equivalente a qualche altro 

 gruppo analogo, i p integrali di G p 



Y n u ui{x) 



non potrebbero essere linearmente indipendenti ('); quindi seguirebbe 11=0, 

 contro il supposto. Se poi si verificasse qualcun altro dei casi che vogliamo 

 dimostrare assurdi, la serie descritta su C p dal gruppo (y'y"...y n ) dovrebbe 

 godere di una delle due proprietà: l a ) essere birazionale identica a una 

 involuzione di (loc. cit„ n. 1); 2 a ) essere nella stessa classe ( 2 ) con 



(') E. Torelli, Sulle serie algebriche ecc. [jBeiid. Palermo, tomo XXXVII (1914)J, 

 n. 16, III. 



( 2 ) Si dice che due serie (di egual dimensione) appartengono alla stessa classe, 

 quando esse possono mettersi fra loro in corrispondenza biunivoca tale che la somma 

 o la differenza di due gruppi omologhi varii in una serie lineare. 



