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Basta osservare che il numero dei punti doppi di y\, ossia dei punti 

 uniti di T è dato notoriamente da 



2v(n-\-p— 1) — 22; 



e anche, per una importante formula di Hurwitz, da 



2v( n — l) — 2(^h* kk — vp). 

 n 



Dal paragone delle due espressioni segue 



( 4 ) * = X = Z ( A w G « — H « 9*) • 



5. Le considerazioni del n. 1 si invertono così: Se due sistemi di pe- 

 riodi normali z ik a fft delle due curve CpC p soddisfano alle relazioni (2'), 

 esistono fra C P G P infinite corrispondenze, cui competono gli intieri carat- 

 teristici h g H G ovvero — h — g — H — G . 



Tutte queste corrispondenze formano, come diremo, una classe, nel 

 senso che le serie da esse indotte su C p e su G p formano una classe. 



In una classe di t corrispondenze (che non sia quella delle corrispondenze 

 a valenza zero) esistono infinite corrispondenze aventi uno degli indici eguale 

 a p. Basta osservare che, supposte verificate le (2), il sistema di equazioni 

 abeliane 



Mi/') H + v hiy p ) == y n u Ui (#) + n K > 



i 



colle costanti n h genericamente scelte, individua, per ogni punto x di C^ 

 un gruppo (y' ... y p ) di p punti su Cp. In tal senso diremo che il prece- 

 dente sistema rappresenta una y v di C p . 



Notiamo che le cose dette in questo § 1, eccettuato naturalmente il 

 n. 3, si estendono subito al caso di due curve di generi diversi. 



§ 2. — Condizioni per l'identità birazionale di due curve. 



6. Dalle considerazioni del § 1 deduciamo facilmente le condizioni 

 necessarie cui debbono soddisfare le -i^a^ perchè le due curve C p siano 

 birazionalmente identiche. Basta pensare che, se fra Cp C p intercede una corri- 

 spondenza biunivoca S , il prodotto S _1 S , la cui rappresentazione analitica 

 si deduce subito da quella di S (n. 4), è l' identità. Tenendo dunque pre- 

 senti le formule (2') (3), abbiamo il 



(') Se tali punti fossero infiniti, si ricorrerebbe a un'altra corrispondenza S', avente 

 gli stessi intieri caratteristici di S (cfr. n. 5), e non presentante questa particolarità. 



