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saranno V ft (Y) , fJ ft (X) [k = 1 , ... ,jo] due ^-ple di integrali di l a specie, 

 linearmente indipendenti, di V p Y p . 



Se tra Y p Y p intercede una corrispondenza biunivoca, questa sarà rap- 

 presentata da relazioni analoghe alle (1), e cioè del tipo 



(7) V k (Y)== V^UjW + tt,; 



t 



e si avrà 



(8) nn = hi-\-^_guVu , T_ ™m <ki = H ft? -(- $u % , 



i i i 



(9) Z7=M; 



%HG essendo numeri intieri, e 77 indicando il determinante dei numeri n n . 



Ma se supponiamo viceversa soddisfatte le (8) e (9), le equazioni abe- 

 liane (7) definiranno tra Y p Y p una corrispondenza che sarà, generalmente, 

 solo unir azionale ( 1 ). 



Noi ci proponiamo appunto di vedere quand'è che le (7) definiscono 

 una corrispondenza birazionale. 



Perciò cominciamo a osservare che, se nella corrispondenza (7) i punti 

 X X' di Y p hanno uno stesso omologo, anche due qualunque punti Xj X[ 

 omologhi nella trasformazione di l a specie definita da XX', tali cioè che 



U*(X,) - U ft (X0 = U*(X) — U*(X') modd. a ik , 



avranno, com' è facile vedere, uno stesso omologo. Segue che la detta tras- 

 formazione di l a specie è ciclica, e quindi esiste un intiero s ^> 1 tale che 



sU ft (X) = fiU(X') modd. a ih . 



11 problema di vedere se la corrispondenza (7) è plurivoca è quindi 

 ricondotto a quello di vedere se è possibile trovare un intiero s ^> 1 e altri 

 2p intieri m ( ni • non tutti divisibili per s , tali che, presi su Y p due punti 

 X X' soddisfacenti alle relazioni 



(10) sH H (X) — eV k (K') = m lt + Y tn.au-, 



i 



si abbia 



£arwU((X) == T tt w Uì(X') modd. t ih . 



i i 



Ora dalle (8) (10) segue 

 s ^_7t hi [u'i(X) — TJi(X')] = X (*« m t + H ^ n à + Z (PI/* m i + % *) % , 



i i j» 



(') L'indice > 1 sarà però certamente fretto per l'ipotesi #=f=0. 



