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e quindi il nostro problema si riconduce facilmente a quello di vedere se 

 si possono determinare un intiero e > 1 e altri 2p intieri m t Hi (non tutti 

 divisibili per e), in guisa da avere 



(11) 



| 2_ (*« m i + H fti - m) = o 

 I y (tot wì -f G Ai m) = o 



mod. e 



Orbene, si vede subito che tal determinazione è possibile se, e solo se, 

 il determinante del sistema (11) è, in valore assoluto, 4= 1. Abbiamo così il 



Teoekma III. — Condizione necessaria e sufficiente perchè due 

 curve G p G p di genere p abbiano la stessa varietà di Jacob?', è che fra 

 due loro (') sistemi di periodi normali r ih a ih intercedano p 2 reiasioni 



X 9 fi T V a *i + X h *ì u n — IL G « - H ft! = , 



ji i i 



dove gli interi hgEG soddisfano alla condizione che il determinante 



(12) 



è uguale a ±1, « all'altra che il determinante dei numeri 



km = h u -f- 



V 



gn l'ai 



è diverso da zero. 



10. Da questo teorema deduciamo subito il seguente 



Corollario. — Se le due curve G p G p hanno la stessa varietà di 

 Jacobi, e una di esse, p. es. G p , è priva di corrispondenze simmetriche 

 singolari, allora le due curve sono birazionalmente identiche ( 2 ). 



Supponiamo, infatti, che siano soddisfatte le relazioni di cui parla il 

 teorema III. Allora, presa una corrispondenza S (fra Gp Cp) cui competano 



(') Per ciò che riguarda la necessità della condizione, si intenda sistemi qualunque 

 (e allora gli intieri kg KG, di cui a momenti si parlerà, dipenderanno da essi); per 

 ciò che riguarda la sufficienza, si intenda sistemi particolari: cfr. gli enunciati dei teo- 

 remi I e II. 



( 2 ) Questa proprietà è dovuta a Severi. Cfr. la Nota di Comessatti, citata in pre- 

 fazione. 



Rendiconti. 1915, Voi. XXIV, 1° Sem. 



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