— 1106 — 



13. Questione IL Riprendiamo a considerare le due curve Q P G P , e la 

 corrispondenza S, di indici n,v, di cui si parlava nel n. 1. Supponiamo, 

 poi, ch6 su G p si abbia una serie y l m , di ordine m e indice /.i , tale che, 

 chiamando omologhi due punti quando sono in uno stesso suo gruppo, si 

 abbia una corrispondenza simmetrica i) a valenza y. 



La corrispondenza S, che intercede fra C^C^, muterà tal y l m iu una 

 serie y l mn , di indice [ir, su C^,. Quale sarà il difetto d'equivalenza di 

 questa y x mn ? 



Tale questione si risolve subito. Infatti la corrispondenza simmetrica, 

 di indici vfx(mn — 1), in cui si corrispondono due punti quando sono in 

 uno stesso gruppo della y l mn , è data dal simbolo 



S-^S-I-^S-'S — fivì , 



I indicando l' identità su ; se ne calcolano quindi facilmente gli intieri 

 caratteristici in funzione di quelli di S e di y; e, con ragionamento ana- 

 logo a quello fatto in fine al n. 4, si trova che il difetto d'equivalenza £ 

 della y) nn è dato da 



(18) C = (/* - Y) 1 (hi G M - B. u g M ) , 



hi 



che è la formula cercata. 



§ 5. — Sulle serie algebriche più volte infinite. 



14. Dimostriamo infine il seguente 



Teorema IV*. — Sopra una curva G p abbiasi una serie y p (anche 

 dotato, di punti fissi), birazionalmente identica alla varietà delle q-ple di 

 punti di un'altra curva G p , e tale che nessun integrale di l a specie di G p 

 dia somma costante lungo i suoi gruppi. 



Se la totalità dei gruppi di p punti, tolti dai gruppi di una gene- 

 rica gfplì di G p , sega sulla y p una y ? ~ l avente il carattere di immersione 



(IT) pj (Zp — Q — 2 — k)( Q ~ )(p — e — i)p-*-*x 

 j;=o \ ti ! 



X(p-l)(p — 2)...(p-k), 



allora le due curve G p G p sono birazionalmente identiche, e la y p v appar- 

 tiene alla classe individuata dalla serie delle g-ple di punti di G p . 



Adoperiamo per G P G P le solite notazioni stabilite al n. 1. La nostra 

 serie sarà rappresentata (analogamente a quanto avviene per le serie oo 1 ) 



