dalla prima delle (7) si ha 



u = ( <p(x , y cos &) f , cos &) d& . 



Il coefficiente /? di scindendo l'intervallo di integrazione nei due 

 tratti ^0 , , [~ , 7r j (e cambiando in quest' ultimo, 3 in 7r — può 

 essere scritto 



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/i= | i//(aj , y C08&) d& = f {«//(ce , ?/ cos #) -f- , — y cos #){ d# . 



La condizione che u sia reale, equivale a ^ = 0; e questa implica, a 

 sua volta, che si annulli identicamente la funzione sotto il segno ( 1 ), ossia, 

 in sostanza, che xp{x , y) sia funzione dispari dell'argomento y. 



Viceversa è evidente che, sotto tale ipotesi, @ = 0. 



Notiamo, d'altra parte, che, se ip è funzione dispari di essa s'annulla 

 sull'asse reale Oa;; la nostra f(x-\-iy) è quindi vincolata alla condizione 

 di essere reale sull'asse reale (o più precisamente in quella parte di esso 

 che cade entro il campo r, cui si riferiscono queste considerazioni). 



Con ciò, non solo risulta ip funzione dispari di y, ma altresì </> pari 

 \jp{x , y) = <p(x , — //)], e subito si verifica che anche la seconda delle (7) 

 definisce una funzione reale 



TV 



v — \ y cos ty{x , y cos $) d& = 2 f y cos %) ip{x , y cos d& . 



Possiamo quindi concludere: Condizione necessaria e sufficiente per la 

 realtà delle due coniugate u , v, è che / sia reale sull'asse reale. Comples- 

 sivamente le dette u , v rimangono definite da 



\ u — 2 5p(cc , cos ■#) d& , 



(I) 



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y = 2 f J/ COS # t//(iC , ^ COS #) , 



f 1 ) Questa affermazione è giustificata dal teorema di Abel, che richiamiamo più 

 innanzi, al n. 5. Dalle due relazioni reciproche ivi esplicitate, appare manifesto che, per 

 = 0, « risulta identicamente nullo. Ora la 



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p(x, y) = J~ \ip(,v , y cos 9) -j- . — V cos &)\ d9 



è precisamente un caso particolare della prima delle due relazioni suddette, ili cui (trat- 

 tando x come parametro costante) si scriva y al posto di r, e si ponga 

 2a (y cos 9) — xp (x , y cos 9) -f- tp (x , — y cos 9) . 



