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nelle quali le funzioni sotto il segno. </> e ip, costituiscono manifestamente 

 due funzioni associate logaritmiche provenienti da un'arbitraria f reale sul- 

 l'asse reale. Tale f si dirà l'assiale della coppia simmetrica associata (u,v). 

 Dalla nostra indagine risulta altresì che tutte le coppie simmetriche si pos- 

 sono pensare generate in questo modo. 



5. — Formule inverse. 



Secondo una proposizione scoperta da Abel si equivalgono ( l ) le due 

 relazioni 



\ 



V'( r ) — 5p(rsen &) cW-, 



'0 



d r 



if(r) = W(r sen sen# da , 



dr tt 



71 



che, chiamando g> e ip rispettivamente a e §, e ponendo ■# = — — , si 



possono anche scrivere come segue : 



^(r) = 2 f «(r cos &) d& , 



r 



«(r) = — - ) cos ■&) cos^ d<> 



In base a ciò, le due ultime espressioni trovate per le u e v equivarranno 

 rispettivamente alle 



(II) 



d V C 2 



tp{x ì y) = ~— u(x . y cos &) cos & d& , 

 a y 7x l> Q 



d v C 2 



y \p(x , y) = -j- — \ v{x , ^ cosi>) cos# d# . 



71 J Q 



6. — Introduzione di argomenti complessi 



E RIDUZIONE AD On' UNICA RELAZIONE FUNZIONALE. 



Poniamo 



(8) io = u -j- e'y , 



(") Circa tale equivalenza, reggasi Beltrami, loc. cit. 



