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Geometria. — Problemi nuovi di geometria meirico-differen- 

 ziale. Nota di E. Bompiani, presentata dal Corrispondente G. Ca- 



STELNUOVO. 



1. La geometria differenziale metrica si occupa ora quasi esclusivamente 

 delle proprietà appartenenti al gruppo dell'applicabilità, cioè delle proprietà 

 invariantive per una deformazione dell'ente che si studia, la quale lasci inal- 

 terati i suoi elementi lineari. Viene affatto spontanea alla mente l'idea di 

 studiare l'effetto di quelle deformazioni nelle quali all'invarianza dell'ele- 

 mento lineare dell'ente, p. es. superficie, sia sostituita l' invarianza di un 

 certo numero di curvature di linee tracciate su di essa. È naturale che la 

 esistenza di tali deformazioni è legata alla dimensione dello spazio in cui 

 la superficie è immersa, e alla dimensione dello spazio su cui la si vuol 

 applicare (uguale o distinta dalla precedente); talché, p. es., non c'è luogo 

 a parlare di queste nuove deformazioni nello spazio ordinario (riducendosi 

 esse ai movimenti). Ma non appena si aumenti la dimensione dell'ambiente 

 i nuovi problemi si presentano altrettanto naturali quanto gli antichi: ed 

 anzi, in alcuni casi ('), gli uni e gli altri si equivalgono. 



Io non tento per ora una teoria generale: mi limito a dar alcuni resul- 

 tati; e ciò faccio tanto più volentieri perchè essi si riattaccano a nozioni 

 di geometria proiettivo-differenziale, delle quali viene nuovamente provata 

 l'utilità. Mi servo di considerazioni infinitesimali, cioè di quelle che il Bel- 

 trami considerava come il miglior aiuto in queste ricerche. 



2. Nell'applicare una superfìcie sviluppabile ( 2 ) (luogo delle tangenti ad 

 una curva, cono, o cilindro) sopra un piano, rimangono inalterati gli ele- 

 menti lineari delle curve tracciate su di essa; varia invece la loro curva- 

 tura, ad eccezione di quella dello spigolo di regresso, i cui angoli di con- 

 tingenza rimangono invariati nell'applicazione. 



Si supponga la superficie sviluppabile immersa in un S„ con n^>'ò: 

 in tal caso è possibile di deformarla lasciando inalterati e gli elementi lineari 

 e la prima curvatura delle curve tracciate su di essa. Basta adagiare, con 

 successive rotazioni infinitesime intorno ai piani osculatori, gli S 3 osculatori 

 allo spigolo di regresso sopra un S 3 fisso. Siccome ciascuno di quegli S 3 con- 

 tiene due elementi lineari successivi di una qualsiasi curva tracciata sulla 



(') Cfr. la mia Nota: Forma geometrica delle condizioni per la deformabilità delle 

 ipersuperficie (Atti E. Acc. dei Lincei, voi. XVIII, 1914), n. 5. 

 ( 3 ) Intendiamo parlare sempre di spazi euclidei. 



Rendiconti. 1915, Voi. XXIV, 1° Sem. 153 



