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sviluppabile, ogni coppia rimane inalterata nella rotazione; e l'elemento li- 

 neare comune a due coppie successive, appartenendo al piano-asse di rota- 

 zione, rimane fisso. In questa operazione non mutano perciò nè gli elementi 

 lineari nè gli angoli di contingenza di una qualsiasi curva della superficie: 

 quindi non muta neppure la sua prima curvatura. Concludiamo senz' altro 

 con l'osservazione : 



1. Una superficie svi/uppabi/e può applicarsi sopra un S h conser- 

 vando l'elemento lineare e le prime h — 2 curvature di ogni curva trac- 

 ciata sulla superficie, e la (h — 1)- esima dello spigolo di regresso. 



2. L'osservazione precedente è strettamente legata al fatto che due ge- 

 neratrici successive della rigata sono linearmente dipendenti (di carattere 

 proiettivo), cioè che la rigata ha indice di sviluppabilità 1. Ricerchiamo il 

 significato metrico del primo indice di sviluppabilità in generale. 



Ho denominato (') primo indice di sviluppabilità di una rigata il mas- 

 simo numero di generatrici consecutive linearmente indipendenti di essa. 

 Una rigata d' indice di sviluppabilità v appartiene ad uno spazio di dimen- 

 sione ->2i' — 1; però la rigata dello S 2N _i non è di tipo generale, e poiché 

 appartiene di già allo spazio di minima dimensione possibile (compatibil- 

 mente col suo indice di sviluppabilità), non va considerata nella presente 

 ricerca (di applicabilità sopra uno spazio di dimensione inferiore). Siccome 

 lo spazio di dimensione minima per una rigata di tipo generale è un S 2 n , 

 bisognerà prendere in esame quelle appartenenti a spazii di dimensione 

 >2r. 



Siccome v -J- 1 generatrici consecutive sono linearmente dipendenti, esse 

 individuano un S 2 „; gli S 2 v-u contenenti v generatrici successive, riescono 

 perciò osculatori ad una curva <r ( 2 ) (non appartenente in generale alla ri- 

 gata); il punto d'intersezione di una generatrice con lo spazio delle v pre- 

 cedenti descrive una curva, y , appartenente alla rigata. 



Ciò premesso, consideriamo due S 2 t consecutivi e lo Sj^-j loro interse- 

 zione ; possiamo far rotare uno dei due S 2 m intorno allo S 2v _! sino a farlo 

 coincidere con l'altro. Vediamo che cosa rimane invariato in questa opera- 

 zione: evidentemente gli elementi contenuti nello S 2V , cioè gli elementi di 

 ordine v, E„ ( 3 ), di tutte le curve tracciate sulla rigata. Gli elementi di 

 una curva fino a quello d'ordine v ne definiscono le prime v — 1 curvature: 

 queste dunque rimangono invariate insieme coll'elemento lineare nella tras- 

 formazione fatta. La curva y, com'era prevedibile per analogia col caso 

 v = 1 , si comporta in modo eccezionale. Infatti essa gode della proprietà 



(') Nella mia Memoria: Alcune proprietà proiettivo- differenzi ali dei sistemi di 

 rette negli iperspazi (Kend. Gire, matem. di Palermo, tom. XXXVII, 1914), § 3. 

 ('-') Alcune proprietà ecc., loc. cit., § 2. 



( 3 ) Sopra alcune estensioni dei teoremi di Meusnier e di Eulero (Atti K. Accad. 

 delle scienze di Torino, voi. XLVIII, 1912-1913), n. 2. 



