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caratteristica seguente ('): i suoi S-, osculatori sono immersi negli S 2n— i sopra 

 nominati, e quindi un S e „ contiene un S v+1 osculatore a y; perciò nell' ap- 

 plicare nel modo indicato la rigata sopra un S 2V , la curva mantiene inal- 

 terate le sue prime v curvature. S' intende che la curva a , che ha per S 2N 

 osculatori quelli nominati, mantiene inalterate nella deformazione tutte le 

 2v — 1 prime curvature. 



Ora si può ragionare più in generale come s' è fatto nel caso delle 

 sviluppabili ordinarie ; si giunge con ciò al resultato : 



II. Una rigata d'indice di sviluppabilità v, immersa in uno spazio 

 qualsiasi S„ (n > 2r), può sempre applicarsi sopra un S h [n^> A -> 2v) 

 mantenendo inalterati gli elementi lineari e tutte le curvature, fino alla 

 (h — v — \)-esima inclusa, di ogni curva tracciata sulla superficie. Esiste 

 su di essa una curva (la y) che mantiene inalterata anche la (h — »')- 

 esima curvatura. La deformazione si opera facendo ruotare gli S h , indi- 

 viduati da h — v -\- 1 generatrici successive, intorno agli S h -i in essi con- 

 tenuti e individuali da h — v generatrici: la rotazione dev'esser tale da 

 portare tulli gli S h a coincidere. 



3. Cerchiamo d'invertire la proprietà ora trovata per le rigate di 

 indice di sviluppabilità v: il caso v = 1 ci avverte in che modo dovrà farsi 

 quest' inversione. Infatti in tal caso si dimostra (ciò che Monge riteneva su- 

 perfluo) che. se una superficie di S 3 è applicabile sul piano, essa è rigata 

 con indice di sviluppabilità 1. Qui si vede comparire una limitazione nella 

 dimensione dell'ambiente, a cui la superfìcie deve appartenere, che non figura 

 nel teorema diretto: e questa limitazione è essenziale, perchè una superficie 

 di applicabile sul piano può anche non esser rigata ( 2 ). Si prevede dunque 

 che il teorema che abbiamo in vista, posto che sia vero, potrà enunciarsi 

 così : 



III. Le superficie rigate di S 2N+1 applicabili sopra un S 2v in modo 

 che si conservino gli elementi lineari e le prime v — 1 curvature di 

 qualsiasi curva tracciata su di esse, hanno necessariamente il primo in- 

 dice di sviluppabilità v . 



S' è dovuta enunciare esplicitamente anche la condizione che la super- 

 ficie sia rigata, perchè essa non è conseguenza della dimensione dello spazio 

 d'immersione e delle condizioni d'applicabilità (al contrario di ciò che ac- 

 cade nello spazio ordinario) ; vale infatti il teorema (del quale il precedente 

 è un corollario immediato) : 



IV. Condizione necessaria e sufficiente perchè una superficie di S 2v+ i 

 sia applicabile sopra un S 2N in modo da conservare gli elementi lineari 

 e le prime v — 1 curvature di qualsiasi curva tracciata su di essa, è che 



(') Per r — 2. cfr. Alcune proprietà,., loc. cit. , n. 3; e poi ibidem n. 7. 

 ( 2 ) Cfr. Killing: Nicht-Euklidische Geometrie in analytischer Behandlung. 



