la superficie possegga co 1 sezioni negli S v osculatori ad una curva {coi 

 casi degeneri). 



È appunto ciò che ora vogliamo provare. 



4. Per rendere più chiara la dimostrazione, riprendiamo quella per lo 

 spazio ordinario ('): nel corso del ragionamento vedremo quali sono le no- 

 zioni da estendere per trasportare la dimostrazione al caso generale, negli 

 iperspazi. 





c 







ex i 







fri 





u 



\ 1 







i 





Pio. 1. 



Sia dunque una superficie in S 3 : tracciamo su di essa un sistema sem- 

 plicemente infinito di linee (curve c) e costruiamo il sistema coniugata 

 (curve C). Consideriamo la curva c passante per un punto P: la striscia 

 infinitesima di superficie compresa fra la e e la curva infinitamente vicina 

 c' può applicarsi sopra un piano che rotoli sulla sviluppabile circoscritta 

 alla superficie lungo c. Supponiamo, ora, che tutta la superficie sia applica- 

 bile sul piano: consideriamo gli elementi di superficie vicini a P e com- 

 presi fra le curve e ,c' , c" , e C , C , C" , denotiamoli, come in figura, con 

 a , /S, y ,<J. Se l'intersezione dei due elementi superficiali y e ó non coincide 

 con quella dei piani di a e (cioè se y e à non appartengono alla svilup- 



( : ) Non conosco una dimostrazione sintetica semplice di questo teorema; l'averlo 

 Monge ritenuto evidente, ha forse distolto i geometri della sua scuola dall' occuparsene. 

 Quanto alle dimostrazioni analitiche, invece, esse abbondano. 



