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pabile anzidetta), non è possibile far ruotare questi due piani fino a sovrap-^ 

 porli, senza alterare gli elementi lineari, se non si staccano gli elementi j 

 y e ó lungo la loro linea d'intersezione. 



Si facciano ora ruotare y e ó in modo da portarli sullo stesso piano 

 sn cui si sono adagiati a e /? : i lembi del taglio eseguito ~ per staccare 

 y da ó ruotano anch'essi e, data l'arbitrarietà delle linee c (o, se si vuole, 

 delle C), non vengono a sovrapporsi di nuovo sul piano: sicché si avrà o 

 una duplicatura o uno strappo della supertìcie^nelle adiacenze di P. Ciò si 

 evita solo se gli elementi superficiali y e ó appartengono alla sviluppabile 

 detta, cioè se la nostra superficie coincide con essa. c. d. d. 



Per questa dimostrazione è essenziale di notare : 



1) che una superficie di S 3 è divisibile in elementi (infinitesimi) - 

 piani mediante un doppio sistema coniugato; 



2) come devono esser saldati questi diversi elementi lungo le linee 

 di un sistema perchè possa farsi l'applicazione richiesta. 



5. Per estendere questa dimostrazione al caso che abbiamo^ in vista, 

 occorre trovare sulle superficie di S Z t+i un sistema di curve definito da una 

 proprietà analoga a quella che serve a definire i sistemi coniugati in S 3 . 



Consideriamo a tal fine una curva tracciata regolarmente sulla super- 

 ficie e i piani tangenti a questa in v -j- 1 punti infinitamente vicini ^della 

 curva. Siccome ciascun piano tangente contiene il punto di contatto del suc- 

 cessivo, lo spazio di v piani tangenti consecutivi è un S 2N che taglia il 

 (v -J-l)-esimo piano tangente lungo una retta passante per il punto di contatto 

 di questo piano: questa tangente può considerarsi come coniugata all'elemento 

 d'ordine v , E„ (individuato da v -J- 1 punti successivi) di curva assegnato. 



Sicché, dato sulla superficie un sistema semplicemente infinito di curve e, 

 rimane definito un sistema semplicemente infinito di curve C (inviluppate 

 dalle tangenti costruite) che potrà dirsi coniugato d'ordine v col precedente; 

 però, appena v superi l'unità, non c'è reciprocità fra i due sistemi di curve 

 c e C. Si estende invece quella proprietà dei sistemi coniugati che ci è 

 servita nella dimostrazione : 



Le tangenti coniugate agli elementi d'ordine v di una curva formano 

 una rigata d'indice di sviluppala/ ita ri 1 ); il che è incluso nella defini- 

 zione stessa di quelle tangenti. 



6. Ciò posto, è facile di estendere la dimostrazione; supponiamo, per sem- 

 plificare il linguaggio, v = 2. Si ha dunque in S 5 una superficie che si sa 

 essere applicabile sopra un S 4 in modo da conservare inalterata la prima 

 curvatura di tutte le sue curve. Tracciamo ad arbitrio, su di essa, un si- 

 stema oo 1 di curve c, e le loro coniugate di second' ordine, C. Si conside- 



(') Mentre la rigata generale dello Si V +i ha il primo indice di sviluppabilità 

 = v + l. 



