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deformazione da eseguire. Sicché intanto si ricava come condizione neces- 

 saria per l'applicabilità nel senso definito, che siano coincidenti gli S 3 (g 1 g 2 ) 

 6 (ffi d'-òì ecc - : da ciò segue che le curve C debbono essere nei piani oscu- 

 latori ad una curva (e casi proiettivamente degeneri), altrimenti la super- 

 fìcie starebbe tutta in S 3 . 



La condizione trovata è anche sufficiente. Infatti si cousideri la curva 

 alla quale quegli S 3 sono osculatori, e gli S 4 ad essa osculatori: con oppor- 

 tuna rotazione di questi S., intorno agli S 3 in essi contenuti si possono por- 

 tare tutti gli S 4 a coincidere ; e poiché ogni S 4 contiene almeno due ele- 

 menti successivi di qualsiasi curva della superficie, il teorema IV è dimo- 

 strato (per i' = 2). 



Analogamente si procede per v qualsiasi. 



7. Se la superficie è rigata le sue generatrici (curve C) sono immerse 

 negli Sv osculatori ad una curva : è questa una proprietà caratteristica delle 

 rigate d'indice di svilnppabilità v ('). È così provato anche il teorema III. 



Matematica. — Una condizione necessaria e sufficiente per 

 l'esistenza di soluzioni neW equazione integrale di 1" specie. Nota 

 di Attilio Vergerio, presentata dal Socio V. Volterra. 



1. In una mia Nota, apparsa recentemente in questi Rendiconti (-), ho 

 dimostrato che, data l'equazione, a nucleo simmetrico, 



(1) g(s) = Pk(s*) h{t) dt , 



\J a 



posto 



V„= Clg n (s)yds ; % ± = C W , 



si ha 



lim G„ = C , 



n=ao 



dove C è una quantità finita, positiva e diversa da zero; ed inoltre che 

 l'essere le costanti C„ (« = 0,1,2, ...) tutte eguali tra loro, ovvero (ciò 



che è lo stesso) l'essere soddisfatta l'eguaglianza g(s) = è condizione 



sufficiente perchè la (1) ammetta soluzioni; in tale caso, una di queste, è 

 data da 



*» - ir ■ 



(*) Alcune proprietà ecc., loc. cit., n. 5. 



( 3 ) Sull'equazione integrale di l a specie (seduta dell' 8 nov. 1914). 



