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In questa breve Nota, mi propongo di esporre una condizione necessaria 

 « sufficiente, in un caso particolare abbastanza esteso, dalla quale verrà 

 anche messo in luce il legame esistente tra le costanti C„, da me intro- 

 dotte nella Nota citata, e le costanti y n di cui lo Schmidt si è valso per 

 dimostrare l'esistenza degli autovalori e delle corrispondenti autofunzioni. 



2. Richiamo anzitutto alcuni risultati dello Schmidt ( 1 ). 



Supposto che il nucleo K(st) sia simmetrico, si ponga 



Ne segue: 



U„ = f K„(ss) ds . 

 Ujjn. v = f f Ku.(sr)Kv(sr) dr ds 



•J a J a 



U 2 v= P P[K,(sr)] 2 dr ds . 



Applicando la disuguaglianza dello Schwarz alla prima delle due pre- 

 cedenti uguaglianze, dopo aver fatto in essa fi = n-\-\ , v = n — 1, si ha: 



da cui 



^2n _ ~^2n-t-ì 



Posto ora 



U in 



sarà 



Yn-l -SI Yn • 



Lo Schmidt dimostra, poi, che 



lim y n = Y > 



n=<x> 



dove y è una quantità finita positiva e diversa da zero; ed inoltre che 

 (a) lim^4^ = HM, 



ff=oo Y 



dove H-(st) rappresenta una funzione finita, continua e positiva, che non 

 può essere identicamente nulla, in s ed in t . 



(») Math. Ann., Bd. LXIII. 



