— 1202 — 

 4. Dalla (2) si ha l'eguaglianza 



yK 2 „_i(sO = K in+l (st) 

 la quale, moltiplicata per g(t) ed integrata, dà 



yg<>n-\{$) = g%n+\{s) . 



Si moltiplichino ambo i membri di quest'ultima per gi(s), e si integri nuo- 

 vamente. Ricordando che (ved. mia Nota cit., n. 3) 



f Iffnis)']* ds= f 0„_ r (s) tfs , 



J a 



si ottiene 



e quindi / = ; cioè 



(3) G n = y (« = 1,2,3, ...) . 



Si osservi che la (3) sarà sempre verificata, ammetta o no la (1) soluzione* 

 Dalla (2) si ha ancora 



yK(st) = K 3 (st) 



la quale, se la (1) ammette soluzione, moltiplicata per h(t) dt ed integrata, 

 dà l'eguaglianza 



Y9(s) = gì{s), 



dalla quale, mediante moltiplicazione per g(s) ed integrazione, si ottiene 

 l'altra (ricordando che f [#(s)] 2 c^s = V ) 



(4) y = |l = C . 



» o 



La condizione C = y è quindi necessaria. Essa è anche sufficiente ; infatti 

 dalle (3) e (4) si deduce, allora, che le costanti C„ (« = 0,1,2,...) saranno 

 tutte eguali tra loro; il che è condizione sufficiente, come venne ricordato 

 al num. 1. 



Evidentemente la condizione C = y equivale all'altra C = Ci , che 

 talora può tornare più comoda nella pratica. 

 Possiamo quindi affermare che 



Se le costanti y n , relative al nucleo simmetrico dell'equazione inte- 

 grale di l a specie, sono tutte eguali ad una quantità y, condizione neces- 

 saria e sufficiente affinchè la (1) ammetta soluzioni è che sia soddisfatta 

 V uguaglianza G = y, ovvero {ciò che è lo slesso) l'altra C„ = Ci . 



