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Possiamo anche aggiungere: 



in ogni caso, sotto le stesse ipotesi, sarà valida l'uguaglianza (3) ( x ). 

 5. Uno dei casi, in cui la condizione relativa alle costanti y„ è sod- 

 disfatta, si presenta quando il nucleo ha la seguente forma: 



K(st) = a<p(s) <f{t) , 



dove a è una costante qualunque. 

 Infatti, in tal caso, si ha 



K 2 (s^) = « 2 f SP(«) <p{r) - <p(r) <p(t) dr = a % <p(s) <p{t) f [_<p{r)~] % dr 



• a J a 



K 3 (st)=cc 3 g>(s)g>(t)\ | [y(r)] 2 dr 



e così via. Da queste uguaglianze si vede subito che y n è indipendente 

 da », e che inoltre è 



( C b ) 2 



Y = " 2 ] I [(/K^)] 2 dr : . 



' a ; 



Naturalmente, l'essere tutte eguali tra loro le costanti y n dipende dalla 

 natura della funzione K(s^); però dipende anche dai limiti tra cui si integra. 

 Per es., per la funzione K(st) = s -\- t , le costanti y n non sono eguali tra 

 loro, se si integra tra eà. a (a qualunque); mentre lo sono, se l'integra- 

 zione viene eseguita tra — a e -f- a . 



6. Nel caso che il nucleo ~K(st) non sia simmetrico, si ponga 

 ■•b 



K(rs) g(r) dr = g'(s) 



£ 

 I 



\{rs) K{rt) dr = K'(sl) ; 



si ottiene cosi l'equazione a nucleo simmetrico 



g\s)= \ b K'(st)h(t)dt , 



J a 



alla quale saranno applicabili i risultati suesposti, nel caso che le costanti 

 relative al nuovo nucleo siano tutte eguali tra loro. 



7. Voglio da ultimo mostrare la relazione che lega tra loro le costanti 

 C = lini C„ e y = lini y n , nel caso generale. 



(') Si noti che, se è vero che l'uguaglianza della y n richiede quella delle di non 

 è per questo detto che debba verificarsi l'inverso; cioè che, se le costanti G n sono eguali 

 tra loro, lo debbano essere di conseguenza anche le y n : la (5) del n. 7 ne offre un esempio. 



