— 1204 — 



Presa una funzione qualunque integrabile g(s), se ne cerchino le fun- 

 zioni iterate g„(s), operando col nucleo simmetrico K(st). Si ha così la 

 successione 



gi(s)= f b K(st) g(l) dt 



J a 



g s (s) = f b K a {st)g(t)dt 



•b 



g n {s) = I K n {st)g{ì)dt 



Indichiamo con y n le costanti relative alla K(st), e sia limy n = )'. 



n=co 



Si divida per y n la 2n ma uguaglianza; si ottiene 



g%n\ s 



*J a I 



Passando al limite per n = oo (supposto che siano verificate le con- 

 dizioni volute per l'inversione dei due simboli di limite e d'integrale), 

 avremo, ricordando la (a) del n. 2, 



lim^= f b R(st)g(t)dt. 



n— ce 7 J a 



E poiché il secondo membro è una funzione determinata e finita di s, tale 

 dovrà essere anche il primo; potremo perciò porre 



limili = G( S ). 



K = oo / 



Si osservi che la g(s), arbitraria, può sempre essere scelta in modo 

 che si abbia Gr(s) 4= ; infatti, perchè ciò accada, è sufficiente che la g(s) 

 non sia soluzione dell'equazione 



Ph(^) 6{t) dt = . 

 Si consideri ora l'equazione 



(5) G(s)= C K{st) h(l) dt , 



