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Le seconde polari della coppia di generatrici di S' poste sulla quadrica 

 corrispondente ad una retta r. rispetto alle due quaterne equianarmoniche 

 di J, sono date da 



(pw — P*%) {ipsi =± J/3 p t4 ) P f 2i {p* 3ì —p\a) A 



+ (Pi* — P**) ( — t/3 JBsi — = 



prendendo i segni superiori o gl'inferiori. Perciò l'equazione 

 4«0 2 — 3(«+ l) 2 KK?K!iq=.0 



rappresenta il complesso di ottavo grado delle rette, per le quali le due 

 dette seconde polari hanno il birapporto a. 

 Per a = — 1 • 



II complesso & è il luogo delle rette r tali che,, se si considerano 

 ■le due generatrici di S' situate sulla quadrica corrispondente ad una 

 retta r, e di esse, entro S' , le seconde polari rispetto ai due gruppi 

 equianarmo nici dell'involuzione J, le ilue coppie di generatrici di S' così 

 risultanti si separano armonicamente. 



lt>. Consideriamo un qualsiasi complesso covariante della terna K, , 

 K 2 , K 3 . Il suo cono avente per vertice un punto y è covariante dell'angolo 

 tetraedro che ha per facce i piani focali di %j rispetto ai complessi lineari 

 Li! , ... , L, (n. 7). Se ne deduce 



V equazione di ogni complesso covariante della terna di complessi 

 lineari a due a due in involuzione rappresentali dalle (1) si ottiene 

 {salvo un eventuale fattore K, Ks> K 3 ) eguagliando a zero una forma sim- 

 metrica dei quadrati delle espressioni Kj . E ? , K 3 contenute nelle stesse (1). 



Perciò tutti i complessi covarianti di una siffatta tema {astraendo 

 dall'eventuale presema della terna stessa) sono 'li grado pari. 



Una facile discussione conduce inoltre alle proprietà: 



I complessi 1 1) hanno un solo complesso covariante di secondo 

 grado, ed è quello delle tangenti alla quadrica Q. 



Essi hanno una sola coppia covariante di complessi quadratici, cioè 

 la coppia K' , K" . 



/ complessi covarianti del quarto grado costituiscono un fascio, al 

 quale appartengono Q ed Si, la coppia dei complessi quadratici K',K", 

 la quaterna dei complessi lineari L, , ... , L 4 , e il complesso delle tangenti 

 a Q contato due volte. Per ciascuno di essi il cono avente il vertice in 

 un punto generico ha per piani bitangenti i piani focali del punto rispetto 

 ad L, , ... , Lm , con le stesse generatrici di contatto, che sono pure gene- 

 ratrici del cono circoscritto dal punto alla quadrica Q. 



Cfr. Ciani. Contributo alla teoria del gruppo di 168 collineazioni inane, Ann. 

 •di Matem., Serie III, voi. 5 (1900..). pag. 33 (n. 12). 



