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17. Posto per brevità 



Kf = u , K| = v , K| = w , 



sia 



(20) 



l'{u , v , w) = 



l'equazione di un complesso covariante della terna (1), cosicché, se f è una* 

 forma ternaria simmetrica d'ordine n in u , v , tt> , il complesso sarà del 

 grado 2«. Le rette singolari del complesso si hanno associando alla (20) 

 l'equazione 



e siccome questa è simmetrica in u ,v ,ic e di grado 4n — 2 nelle coordi- 

 nate, così: 



La congruenza delle rette singolari di un complesso di grado 2n 

 covariante della terna (1) si scompone in 4n(2n — 1) congruenze lineari. 

 Le direttrici di queste congruenze appartengono tutte al regolo S' {ma 

 non, in generale, al complesso considerato), e vi formano 2n{2n — 1) 

 gruppi (distinti o no) dell'involuzione J. 



È poi evidente che : 



Le generatrici del regolo S sono 2n-ple per il complesso, in quanto 

 il cono del complesso avente per vertice un punto generico di Q consta- 

 di 2n piani passanti per la generatrice di S che esce dal punto. 



18. Per il num. prec , non si può parlare di superficie singolare di un 

 complesso covariante della terna (1), a meno che non si voglia dar questo 

 nome alla quadrica Q, contata un certo numero di volte. 



Più in generale, la terna (1) non possiede altra superficie covariante 

 che Q; anzi la proprietà sussiste, e può dimostrarsi in modo assai semplice, 

 indipendentemente dall'ipotesi che i tre dati complessi siano a due a due 

 in involuzione. In altri termini: 



Tre complessi lineari qualunque non hanno altra superficie cova- 

 riante che la quadrica cui appartiene il loro regolo comune. 



Infatti siano S questo regolo, S' il regolo ad esso incidente, contenente 

 le direttrici delle tre congruenze lineari che i dati complessi hanno a due 

 a due in comune, Q la quadrica su cui S ed S' sono tracciati. Tra le omo- 

 grafie che mutano in sè ciascuno dei dati complessi, vi sono le oo 3 che ten* 

 gono fisse le rette di S' , poiché ognuna di esse, tenendo fissi i complessi 

 speciali della rete determinata dai dati complessi, tien fissi tutti i com- 

 plessi della rete. Queste oo 3 omografie formano un gruppo Gr s , e non sono^ 

 altro che le omografie biassiali aventi gli assi nel regolo SL 



