— lo- 

 dassi : questo teorema, come si vedrà, ha molta simiglianza con quello di 

 Dirichlet, che racchiude i risultati a cui noi alludiamo ( 1 ). 



2. Sia: P il prodotto degli r fattori primi, razionali, dispari, distinti 

 di D, che sono =3 (mod. 4) ; Q il prodotto degli s fattori primi, razionali, 

 dispari, distinti di D, che sono =1 (mod. 4); ,« la massima potenza di 2 

 ivi contenuta. Nel caso di s — , si porrà Q = 1 . Indichiamo con g il nu- 

 mero dei generi in cui si ripartiscono le classi di forme di Dirichlet a deter- 

 minante D , con g' il numero analogo per le classi di forme di Gauss ave'nti 

 lo stesso determinante e con g" il numero analogo per le classi di forme di 

 Gauss a determinante 2."- +1 Q. 



Ciò posto, abbiamo ( 2 ) : 



per 



D = 1 (mod. 4) 



è g = 2 r - h2s 



• 9 



— 2 r+s - 1 



• 0" 



= 2* 



ji 



D = 3 (mod. 4) 



n g 2 r * 2s 



, 9' 



— 2 r - +s 



• 0" 



= 2 S 





D = (mod. 8) 



t g = <>r+ìs->-ì 



• 9 



<}r+s*-l 



• 0" 



== 2 8 -*" 1 





D = 2 (mod. 8) 



* g = 2 r + is + 1 



. 9 



9r+s 



'i 0" 





» 



D = 4 (mod. 8) 



» g = 2 r -'-* s+1 



. 9' 



_ 2^+s 



» 0" 



= 2 S+1 





D == 6 (mod. 8) 



» g == 2 r + 2s+l 



■ 9' 



__ 2'-+s 



* 0" 



== 2* . 



Dall'ispezione di questi risultati, si deduce : 



Il numero dei generi in cui si ripartiscono le classi di forme di 

 Dirichlet, a determinante intero razionale D . è uguale al prodotto del 

 numero dei generi in cui si ripartiscono le classi di forme di Gauss a 

 ■determinante D, per il numero analogo relativo alle classi di forme di 

 Gauss a determinante 2( A+1 Q, se D = 3 {mod. 4) e D = , 4 (mod. 8)\ 

 ne e il doppio, se D = 1 (mod. 4) e D = 2 , rj (mod. 8) : indicando fi la 

 massima potenza di 2 che entra in D e Q il prodotto ilei suoi fattori 

 primi, razionali , dispari, diversi, che sono = 1 (mod. 4). 



3. È ben noto che tanto per le forme di Gauss, quanto per le forme 

 di Dirichlet, il numero dei generi uguaglia sempre il numero delle classi 

 ancipiti (a periodo 2) e quindi, il teorema ora enunciato si trasforma in 

 quest'altro : 



// numero delle classi di forme di Dirichlet a determinante intero 

 razionale D , ancipiti (ambigue) è uguale al prodotto del numero delle 

 classi di forme di Gauss a determinante D, ancipiti, per il numero delle 

 classi di forme di Gauss a determinante 2. a+1 Q, ancipiti, se D = 3 (mod. 4) 



( x ) Le forine che si considerano in questa Nota sono primitive di prima specie. 

 Quelle di Dirichlet apparterranno sempre al corpo K(|/ — l). 



(-) I valori di g si ottengono dalla tabella inserita a pag. 212 della mia Nota cit. : 

 // genere, ecc. Infatti, ad es. : se D = 2 (mod. 8) è pure D = 2 [mod. (1 -f- i) 5 J aven- 

 dosi 8 = (l + i/»t; è quindi subito visibile il corrispondente valore di g . Per quelli 

 di g' e g" , cfr. ad es. : Bachmann, Die Àrithmetik der qmdratischen Form'en, p. 108 seg. 



