e D = , 4 (mod. 8) ; ne è invece il doppio se D = 1 (mod. 4) e D = 2 , 6 

 {mod. 8) ; oye fi e Q conservano i significati dati nell'enunciato precedente. 



4. Consideriamo ora le classi di forme di Dirichlet, a determinante 

 intero razionale D , duplicate ; cioè quelle forme che sono il quadrato di 

 altre classi. 



Indicando con H il numero totale delle classi di forme di Dirichlet, 

 con M quello delle classi duplicate e con A il numero dei relativi carat- 

 teri, si ha : 



(1) M = ^T 



Siano li ed h x il numero totale delle classi di forme di Gauss, rispet- 

 tivamente a determinante -f D e — D , abbiamo, per un noto teorema di 

 Dirichlet : 



H = 2hhi oppure H = hhi , 



secondo che l'equazione indeterminata t* — Du 2 = — 1 , ammette soluzioni 

 intere razionali, oppure no ( 1 ). 



Tale risultato si può trasformare in quest'altro ( 2 ) : se D = 3 (mod. 4) 

 oppure D = 0,4,0 (mod. 8) si ha sempre H = A/i, , se D=l (mod. 4) 

 oppure D = 2 (mod. 8), si ha H = 2 ^ , , oppure H = h hi secondo che la 

 equazione suddetta ammette soluzioni intere razionali oppure no. 



Inoltre : se D = 1 , 3 (mod. 4) è A — r -f- 2s -{- 1 , se D = (mod. S) 

 è A = r -f- 2s -f 3 , e se D = 2 , 4 , (mod. 8) è A = r + 2s J r 2. 



In conseguenza, la (1) si trasforma come segue: 



per D=l (mod. 4) è M = oppure M = ^ 



secondo che l'equazione indeterminata t* Du 2 = — 1 ammette soluzioni 

 intere razionali oppure no, 



hh l 

 2 r 



h h t 



per D = 3 (mod. 4) è M 



per D == (mod. 8) è M = 



per D == 2 (mod. 8) è M = ^-—^ oppure M = 



secondo che la suddetta equazione ha soluzioni intere razionali oppure no , 



h /ì, 



per D = 4 , (mod. 8) è M 



2r+ls<-1 



(*) Cfr. mia Nota cit. : Sopra due teoremi di Dirichlet. 



( 2 ) Cfr. Enciclopédie des Sciences Math. Tom. I, voi. ?>, fase. 2, pag. 113, 



