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Ora. se indichiamo con ra, , il numero delle classi di forme di Gauss, 

 a determinante — D , duplicate, le precedenti relazioni si possono anche 

 scrivere : 



h h 

 per D = 1 (mod. 4) è M — m ì , oppure M = — m 1 , 



dà ù 



h h 

 per D = 2 (mod. 8) è M == — m x , oppure M== — — m\, 



secondo che l'equazione indeterminata sopra scritta ammette, oppure no,, 

 soluzioni intere razionali, 



per D = 3 (mod. 4) e D = 0,4,6 (mod. S) è !! = — )«,. 



Inoltre, se consideriamo le classi di forme di Dirichlet. duplicate, a 

 determinante — D, il loro numero è ancora M ( x ) . Quanto precede ci offre 

 quindi il risultato : 



Indicando con h il numero totale delle classi di forme di Gauss a 

 determinante D , con M ed m x , i numeri delle classi di forme, rispettiva- 

 mente di Dirichlet e di Gams, a determinante — D, duplicate, e, con s 

 il numero dei fattori primi, razionali \ dispari, diversi ài D, che sono = 1 

 (mod. 4), si ha sempre : 



, o, M . n ,^, M 



h — 2 S - oppure h = 2 S+1 — , 



m x m x 



secondo che l'equazione indeterminata t* — Du 2 = — 1 ammette soluzioni 

 intere razionali oppure no; escluso il caso D = 1 (mod. 4). in cui si ha 

 invece : 



li — 2 S_1 — oppure h = 2 S — , 

 mi m { 



secondo che l'equazione suddetta ammette soluzioni intere razionali op- 

 pure o no. 



5. Indichiamo ora con m il numero delle classi di forme di Gauss a 

 determinante -j- D , duplicate e con X il numero dei relativi caratteri ; 

 abbiamo : 



h 



(2) m = 



9\-l 1 



e, se D = 1 (mod. 4) è X = r -f- s , se D = (mod. 8) è X = r -f- s -|- 2 , 

 negli altri casi è X = r -4- s -J~ 1 . 



i 1 ) Ciò si può vedere facilmente ripetendo il ragionamento fatto in nota a pag. 125 

 del mio lavoro citato: Sopra il ne teoremi, ecc. 



