y 



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valere per la risoluzione esplicita delle equazioni suaccennate. Esse sono le 

 seguenti: 



[1] ^ m ^j"_jB^l mdi , 



essendo n = — m -f- N , con N minimo intero non inferiore ad n . La /"(#) 

 deve supporsi tale che risultino convergenti gli integrali dei secondi membri. 



2. Primo tipo. 



Sia l'equazione differenziale 



[2] D"oz/ + gp(a!)D»iy _| l j^) D «v y = R(^) , 



nella qnale 



<p(x) , ... , %{x) , R(z) 

 sono funzioni arbitrarie e le 



n s (s = 0,1,2,...,-»') 

 sono altrettanti indici qualunque, soggetti però alla condizione 



n r — n s = N r intero (r — , 1 , 2 , . . . , (s — 1 ) , (s -f- 1 ) , . . . , v) . 

 Si vede subito che per mezzo della trasformazione 



y = D""«i// 



la [2] diviene un'equazione ad indici interi, il cui integrai generale F(cc), 

 sostituito in luogo di tp , ci darà, ben s' intende, in quel campo funzionale 

 in cui le operazioni sono legittime, l'integrai generale della [2]. 

 Ossia per [l] 



3. Secondo tipo. 



[3] D»-*y — Ay + 9KaO, 



dove k rappresenta una costante, <p(x) una funzione arbitraria. Se operiamo 

 nella [3] la trasformazione 



[5] y = u- + ^VF-k Uì 



otterremo immediatamente l'equazione ad indice intero 



D 2 "- 1 u — k 2 u -f- k(p(x) , 



