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Geometria. — Nuova trattazione della geometria proiettivo- 

 differenziale delie curve piane. Nota III di Gustavo Sannia, 

 presentata dal Socio Enrico D'Ovidio ( x ). 



10. Il fascio di coniche aventi un contatto di 8° ordine con T in P è in- 

 dividuato dalla Z 2 = (/ contata due volte) e dalla Y 2 — 2XZ = 0, 

 perchè dalle (28) si ha 



( Y 2 — 2XZ = — la* 12 + tf 5 /5 + IW/6 + (70//, — 61) <r 7 /5 ! 7 — 

 .(29) ] — (100//,+ 135/, 4-252/- + 21) a s /7 !2 + (56// 3 — 43/ 2 — 



f — 252/ 2 /, — 16/ 2 )ff 9 /7!2 + R 10 . 



Da (28) e (29) segue, poi, che 



(30) Y 2 — 2XZ H-2/Z 2 = o- 5 10— lai/42— (21 + 1 35/, + 352//,) a & /7 ! 2 + 



+ (28/ 2 — 43/ 2 )<r 9 /7 !2 + R 10 , 



e quindi che 



(31) Y 2 + IZ 2 — 2XZ = 



è la conica osciilatrice (contatto di 4° ordine) di r in P . 



11. Or consideriamo il fascio di cubiche aventi contatto di 7° ordine 

 con r in P . Dalle (28) e (30) si ha 



/ Sì, (X , Y , Z) == 5(Y 2 — 2XZ -)- 21 Z 2 ) Y - 4Z 3 



I = — /<;8/2S — ( 63 + 45/, + 1 760// 2 )<r 9 /7 ! 2 + R 10 . 



(32) ( fi, (X , Y , Z) == 5(Y 2 — 2XZ + 2 / Z 2 ) (7X — 6 /Z) — 1 4YZ 2 



I = — (567 + 45/, + 1760// ? ) ff 8 /6 !2 + 



' +(240/ 2 — 35/ 2 )ff 9 /7!2 + R, , 



quindi 



j £, (Y , Y , Z) = 5(Y 2 + I Z 2 — 2XZ) Y — 4Z 3 = , 

 * 33 ) ( Sì t (X , Y , Z) == 5(Y 2 + I Z 2 - 2XZ) (7X — 3 1 Z) — 14YZ* — 



sowo due cuì>iche (basi) tteZ t/e//o fascio 



(34) afl, (X , Y , Z) + * J2, (X , Y , Z) = (a , è cosi) . 



( J ) Presentata nella seduta del 2 giugno 1922. 

 Rendiconti. 1922. Voi. XXXI, 2° Sem. 



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