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Basta dare ad a e b valori il cui rapporto sia invariante per coli, 

 (cioè, una funzione di rr , di I e delle derivate di I rispetto a o) affinchè 

 la cubica (34) risulti definita in modo invariante per collineazioni. E di 

 alcune di queste possiamo dare definizioni geometriche. 



12. Così : per 



(35) a= 7 (1134 -f 45 I, -f- 88II 5 ) , b = — 2.611 



la (34) è la cubica oscuìatrice (contatto di 8° ordine) di r in P , che è- 



suroscuìatrice se 



(36) 7(126 + 45 I, + 880 II 2 ) (1134 + 45 1, + 88 II 2 ) -f 



+ 6 ! 2 I (120 I 2 — 35 I 2 ) = ( 23 ). 



Se la (36 è soddisfatta in tutti i punti di r , questa coincide con la- 

 cubica oscuìatrice : quindi le cubiche sono caratterizzate dall'identità (36) . 



13. Importante è la cubica base fi, === , caratterizzata da ciò : è la 



unica cubica del fascio che abbia un punto doppio in V ( 24 ). 



Dicesi (con Wilczynski) cubica nodale penosculante di r in P. 



Perchè P è un n per la cubica, le cui tangenti sono le rette t 

 ed n (u. 5) ( 25 ). 



Con ciò risulta geometricamente definita la normale proiettiva n ( 26 ), 

 quindi anche il punto T (0,1,0) come polo di n (Y = 0) rispetto alla 

 conica oscuìatrice (31) e il centro di curvatura (n. 5). per la proprietà, 

 del n. 8 ; e quindi anche il terzo lato TN del triangolo normale, come 

 polare di C = (1.0,1), e quindi il punta N = n . TN ; sicché il trian- 

 golo CTN è autopolare. Si ha poi che: i tre punti ài flesso (uno reale, 

 due immaginarli ) della cubica nodale penosculante giacciono sulla 2 a tan- 

 gente t' (la l a è ti che dal punto T si può condurre alla conica oscuìa- 

 trice, ed hanno per coordinate 



(37) X = I , Y = 2^4-~5 (tre valori) , Z = 2("). 



Infine : fra le cubiche del fascio (34) , la seconda cubica base Sì t = 

 è caratterizzata dal suo passaggio per T (0 , 1 , 0) . 



p) Perche, moltiplicando le (32) per i valori (33) di a e b (ove 1 = 2/), si ha nel 

 2° membro uno sviluppo che incomincia col termine in <x 9 , il cui coefficiente è il io- 

 membro di (36), a meno di un fattore numerico. 



( 24 ) Perchè, come è facile verificare, la (34) e le equazioni che si ottengono ugua- 

 gliando a zero le derivate parziali prime sono soddisfatte da Y = Z = solo se ò — O. 



( 25 ) Infatti ^ 2 i2,/3Y3Z è Punica derivata seconda di Sì, che non si annulli per 

 Y = Z = 0. 



(**) E rimane giustificata l'osservazione ("). 



(«) Perchè la l a delle (33) è incontrata dalla sua Hessiana 5(3Y ! + 2XY — IZ a ) Y — 

 — 12Z 3 = , oltre che nel punto doppio Y = Z = , nei punti (37) ove è incontrata dalla 

 retta t' di eq. 2X — IZ = che passa per T ed è tangente alla (31). 



