14. La conica (31), oscula trice per T, è tale anche per ciascuna cu- 

 bica (34) , con la quale ha 5 punti comuni in P: il sesto punto comune Q 

 ha le coordinate 



(38) X = éa* -j 49 I b* . Y = — 28 ab . Z = 98 b* . 



Solo per b — , Q coincide ancora con P : dunque la cubica nodale 

 penosculante i2, può anche essere definita come la solfi cubica del fascio 

 (34) per cui la conica osculatrice è suroseulatriee. 



Solo per « = , Q 4= P giace su a , ed allora è il punto (1,0,2), che 

 giace pure sulla (31) ; dunque Sì 2 può anche essere caratterizzata come 

 quella cubica (34) che incontra la conica osculatrice nei due punti d'in- 

 contro con la normale proiettiva. 



Le cubiche (34). per cui a = ±7j/ — I , b = 2, sono caratterizzate 

 dal fatto che incontrano la conica osculatrice in uno dei punti di con- 

 tatto delle tangenti alla conica osculatrice condotte dal centro di curva- 

 tura C ( 28 ) . 



La cubica (34), per cui a = P , b = 226, è caratterizzata dal fatto che 

 è tangente alla normale proiettiva (come la nodale, ma) in un punto di- 

 verso da P . 



15. Le cubiche del fascio (34) , avendo 8 punti a comune (in P) . ne 

 hanno anche un nono (come è noto) H , detto punto di Halphen, che, come 

 si vede risolvendo il sistema (35) , ha per coordinate 



(39) X = 2 3 • 7* + 3 • 5 2 I 2 , T = 2 2 • 5 • 7 3 1 , Z = 5 2 • 7 . P ( 29 ) . 



Coincide con P solo se in P la curvatura I è nulla, ed allora P dicesi 

 (con Halphen) un punto di coincidenza di r . 



16. Le curve i cui punti son lutti putiti di coincidenza (considerate 

 da Halphen) si presentano qui come curve a curvatura I nulla. 



Esse sono la spirale logaritmica che taglia i suoi raggi vettori sotto 

 un angolo di 30° e le curve collineari (Halphen) ( 30 ) . 



Più generalmente, le curve (inarmoniche (di Halphen) si presentano 

 qui come a curvatura 1 costante. Partendo dalla (22') , che diventa cp"' -f- 

 -4- I <$' -J- <p = , se ne trovano interessanti proprietà ( 31 >, fra cui quella 

 di ammettere un gruppo continuo di colli ne azioni in sé stesse. Questa e 

 l'altra I = cost. non sono dunque proprietà dei cerchi (n. 8) (come accade 

 nella geometria metrica). 



( 28 ) Che sono i punti ove detta conica è incontrata dulia TN(X = 0) . 



( 29 ) Ora si può definire il punto unità TJ (n. 9) : come quello che fa acquistare al 

 punto di Halphen le coordinate (39). 



( 30 ) Lo si prova integrando la (22') che qui diventa <p"' -\- q> = . Cfr. Wilczynski, 

 loci cit. ( 2 ), cap. Ili, § 5, ove si trovano altre proprietà di queste curve. 



( 31 ) Per le quali rinvio a loc. cit. ( 2 ), cap. Ili, § 8. 



