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e quindi, differenziando la (1) , e per la (1) stessa, 



dX m = p~ l (d m p/d? m ) dP + dt 1 (d m - 1 p/d? m - 1 ) == X m+l dP — LdP ■ X m . 



Se introduciamo l'operatore binario li , che sarà poi indispensabile anche 

 in altre questioni, ponendo : 



(3) 7i(ft u , fi v ) a = a . (i v , u^2;v^l, 



ove fi a è una H„ [cfr. i e ), n. 5], p v una H t , ; a un vettore arbitrario, ri- 

 sultando ìi{ii u , ix v ) una H„+ r _ 1 allora alla (2) può darsi la forma 



(4) dX m /dP = X m+l — MiX, ,X m ). 

 Si ha pure la formula importante 



L d(aX m ) = aX m+ì dP -f- KX 2 dP. aX m , ovvero 



(5) \ 



{ d{aX m )/dP 



Infatti. Ricordando [cfr. ( a ), p. 59] che a = Kfi . fi , che dalla (J) si 

 ha f//? = pXsdP , e scrivendo, brevemente, £ 0>,) al posto di d m p/dP m ; si ha, 

 dalla (1), 



d(aX m ) = d(K0 .p.p- 1 . /S'" 1 - 1 ') = d(K0 . /S"»- 1 ') = K/S . /S (m) ^P + 

 -f K(^ 2 ^P) = «À m+1 dP + IU 2 dP . K/? . ^ = aX m+x dP + 

 -4- K2 2 ^P • «^-m - c. d. d. 



Si ha pure in modo ovvio dalla (1) 



(6) d(pX m )/dP = pX m+l = d m i3/dP m ; 



nè bisogna trascurare la formula [cfr. (") per k applicato ad una H m ] 



(7) kA m = X m 



che risulta da (1) perchè k(,<t , . = >t i . k p v , ed inoltre [cfr. n. 4] 

 k/? (1 > = , da cui, successivamente, k/S (m) = /S tm) . 



(') La (3) non concorda con la (25) di ( e ) a p. 291; ma risulta più opportuna la 

 attuale (3), del lesto concorde con la (25) nel caso particolare u = 2 , v = 1 . La (25) 

 4i (") è caso particolare della MA^u , l*v) • che è pure una H u +i>_ t , che definiamo ponendo: 



j(Af*u , f*v) &i ... a r = f* u A 1 ... a r w 2 , r 1> 1, r< « . 



