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Mate. natica. — Alcuni teoremi sulle equazioni algebriche. 

 Nota di Luigi Fantappiè, presentata dal Socio L. Bianchi C). 



Colle teorie di Galois sulle equazioni algebriche, e fondamentalmente 

 colla considerazione del gruppo di Galois di un'equazione, viene data una 

 classificazione completa ed esauriente dei vari tipi d'irrazionalità che oc- 

 corre introdurre per risolvere le equazioni stesse. Così la risolubilità per 

 radicali si traduce nella proprietà del gruppo di Galois di avere per fattori 

 di composizione solo numeri primi, l'irriducibilità dell'equazione nella tran- 

 sitività del gruppo, ecc. 



Restava però una lacuna quando si trattava di sapere se, quali e quante 

 radici di lina data equazione erano esprimibili razionalmente l'ima per l'altra; 

 e questa lacuna credo di aver colmata coi teoremi che seguono, e che io ho 

 trovati prima incidentalmente per il campo razionale durante la composi- 

 zione della mia tesi di laurea: « Le forme decomponibili coordinate alle 

 classi di ideali nei corpi algebrici*. A questo lavoro anzi, che sarà pub- 

 blicato negli Annali della R. Scuola Normale Superiore di Pisa, rimando 

 per maggiori schiarimenti su questi teoremi. 



Sia dunque ; 



(1) F(a5) = x n + a, x n -' + a 2 x H ~ 2 -\ (- a„-, x -f a n = 



un'equazione algebrica di grado n, irriducibile in un dato campo di razio- 

 nalità R, contenente i coefficienti dell'equazione stessa; e siano , # 2 , ■•• #n 

 le sue n radici, certamente diverse. 



È noto allora che se una radice ^ r della ( I ) si esprimerà razional- 

 mente in R per un'altra radice , anche si esprimerà razionalmente in 

 R per # r , ed esprimeremo questo fatto scrivendo & r v~> ; per la relazione 

 espressa dal seguo oo vale dunque la proprietà simmetrica; non solo, ma 

 vale anche la proprietà transitiva, poiché se è O r t/> & s , e &, co (cioè # r 

 esprimibile razionalmente in R per # s . e # s esprimibile razionalmente in 

 R per &i) sarà anche evidentemente & r is>à t . 



Potremo allora distribuire le n radici # della (1) in un certo numero 

 h di gruppi, ognuno dei quali contenga tutte e sole quelle radici che sono 



0) Pervenuta all'Accademia il 13 luglio 1922. 



