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Teorema 3° — L'equazione (1). a gruppo imprimitivo, si potrà con- 

 siderare ottenuta mediante l'eliminazione di y da due altre equazioni 



(4) g>(p) = y h -f- ^ H h c h _, y-\-c h = 



(5) x" + (y) x^ H 1- (y) x -4- d,{y) = U 



una di grado h eguale al numero dei gruppi, con coefficienti c r (r= 1, 2, . . . h) 

 appartenenti a R; e un'altra di grado v con coefficienti funzioni razionali 

 in R di y , che darà, per ogni radice iji della (4), le v radici di un me- 

 desimo sistema d'imprimitivilà 0- ix , 0- i2 , . . . . 



Essendo poi queste quantità esprimibili razionalmente l'ima per l'altra, 

 queste equazioni (5) risulteranno sempre normali. 



Se in particolar-) il grado dell'equazione irriducibile è un numero primo 

 p, potranno darsi solo due casi, e cioè o l'equazione è normale (v=p), o 

 nessuua delle sue radici è esprimibile razionalmente per un altra (r = 1); 

 quindi 



Teorema 4° — Se una radice di, un equazione irriducibile di grado 

 primo p è esprimibile razionalmente per un'altra, l'equazione stessa è ri- 

 solubile per radicali, anzi si risolile estraendo un'unica radice d'indice p . 



Infatti l'equazione sarà normale, il suo gruppo di Galois sarà perciò 

 d'ordine p eguale al suo grado, e quindi ciclico essendo p un numero primo. 



Teorema 5° — Se il gruppo di Galois di un'equazione irriducibile 

 (1) ha transitività multipla, nessuna delle radici dell'equazione può espri- 

 mersi razionalmente psr un'altra. 



Se infatti fosse V r &s > cioè 



O r = q(O s ) 



si potrebbero portare, con una sostituzione g del gruppo di Galois, le due 

 lettere & r e in due altre arbitrarie 0' r e &■[ per cui sarebbe ancora 



^r = q(K) 



e ponendo 0-' s = V s , ancora arbitraria, si avrebbe 



cioè tutte la radici risulterebbero eguali, il che è assurdo, data l' irriduci- 

 bilità dell'equazione (1), 



Se quindi il gruppo di Galois di un'equazione è il gruppo totale G„! , 

 che. è il caso più generale, nessuna delle radici è esprimibile razionalmente 

 per un'altra, avendo il gruppo transitività multipla. In questo caso h = n , v = 1 ; 

 l'altro caso estremo h = 1 , v = n si ha quando l'equazione è normale, cioè 

 tutte le radici sono esprimibili razionalmente l'una per l'altra. 



