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Geometria. — Area, lunghezza e curvatura di una figura qua- 

 lunque. Nota di Ugo Cassina, presentata dal Socio C. Somigliana (*)• 



E bea noto come il concetto di volume d'un solido, o di area di una 

 figura piana, o di lunghezza d'una figura rettilinea si possa stabilire fon- 

 dandosi solamente sull'idea di limite superiori' od inferiore d'una classe 

 di quantità numeriche. 



Più complessi sono invece i concetti di area d'una superficie curva, 

 e di lunghezza d'una linea: Per stabilire questi, col dovuto rigore, è indi- 

 spensabile ricorrere all'idea di limite d'una funzione. 



Svariate definizioni sono state proposte di tali due ultimi enti ; e molte 

 e molto noto sono le pubblicazioni dell'ultimo cinquantennio su questo ar- 

 gomento ( 2 ). 



Io voglio ora richiamare l'attenzione degli studiosi su un modo nuovo 

 di introdurre i concetti di area, di lunghezza ed — insieme ad essi — anche 

 il concetto di curvatura integrale di una figura: 



Ho trovato che è possibile attribuire a tali enti una origine unica fon- 

 dandosi sulla considerazione del volume della figura costituita dai punti che 

 hanno dalla figura presa in esame distanza minore od eguale ad una di- 

 stanza prefissata in modo conveniente. 



Questo procedimento ha il vantaggio di permettere una generalizzazione 

 di tali concetti, per cui essi possono essere stabiliti per una figura qua- 

 lunque. In particolare si arriva così al concetto di lunghezza di un campo 

 a tre dimensioni, finora mai considerato. 



Per lo studio del solido generico è indispensabile ricorrere ad una 

 formola di Steiner la quale dà il volume del solido compreso fra due su- 

 perficie parallele. 



Nella presente Nota, darò le nuove definizioni di area, lunghezza e cur- 

 vatura valevoli per qualunque figura ed una nuova dimostrazione di tale 

 teorema di Steiner; infine accennerò ad alcuni dei risultati a cui sono per- 

 venuto applicando le mie definizioni alle figure più elementari, al corpo 

 convesso ed al solido generico 



Farò uso solo dell'algoritmo classico. 



(') Pervenuta all'Accademia il 4 luglio 1922. 



( 2 ) Si cfr., per es., F. Sibirani, Sulla definizione di area d'una superficie. (Period. 

 di inatem., voi. XXI; a. 1906, p. 32). 



( 3 ) V. U. Cassina, Volume, area, lunghezza e curvatura di una figura. (Atti della 

 R, Accad. delle Scienze di Torino, voi. LVII, 1922). 



