I. Sia u un solido, o una superficie, o una linea od un insieme qua- 

 lunque di punti (ordinari), cioè una figura. La figura u sia finita, cioè: le 

 distanze di due punti arbitrari di u abbiano limite superiore finito. Sia h 

 un numero reale assoluto (o distanza). Allora con « Btìl (u, h)« indicherò il 

 solido formato dai punti la cui distanza da u è minore od eguale ad h . 



La considerazione del «sol («,/&)» , che è fondamentale per la mia ri- 

 cerca geometrica, si presenta naturalmente anche in altre questioni non geo- 

 metriche. 



Per es. : imaginiamo che u sia una figura luminosa immersa in un 

 mezzo isotropo (superficie d'onda). Allora la luce che parte dai punti di u 

 in un certo istante t , dopo un certo tempo l , si trova sul contorno delle 

 sfere di egual raggio (funzione del tempo e del mezzo) contenute nello spazio 

 in cui si propaga la luce ed i cui centri sono i punti di u. E se indichiamo 

 con ti il raggio di tali sfere, allora la luce che parte da u, dopo il tempo t, 

 si trova sul contorno del sol ('», h), e precisamente su quella parte del con- 

 torno che appartiene allo spazio in cui si propaga la luce. 



Orbene, per una stessa figurai il volume di %o\(u,h) è una funzione 

 di h la quale, nei casi più comuni, è intera di 3° grado in h , cioè è della 

 forma : 



(1) Volnm sol \ u ,K) — A ,-f- Bh -j- Oh 2 -J- Dh z , 



in cui D, se la figura u esiste, è indubbiamente differente da zero. Da sem- 

 plici considerazioni di omogeneità risulta che le grandezze A,B, C,D che 

 figurano in (1) sono rispettivamente un volume, un'area, una lunghezza ed 

 un numero astratto; e, se il campo di variabilità per ti è stato convenien- 

 temente scelto, le grandezze A, B, CD non variano al variare di h: cioè 

 sono funzioni di u e non di h. Se poi u è una superficie, allora la quantità 

 numerica D non differisce essenzialmente dalla curvatura integra, conside- 

 rata da Gauss, della superficie stessa. 



Per questi motivi, chiamerò area, lunghezza & curvatura della figura u, 

 e li indicherò rispettivamente con « Ar u » , « Lon u » e « Curv u » , gli enti 

 così definiti : 



(2) Ar u = lim [Volum so1(m , Ji) — Volum u] / (.2 h) , 



h -»0 



(3) Lon u = lim [Volum sol (u, h) — Volimi m — 2h Ar u~]/(Tih 2 ) , 



(4) Curvw= lim [Volumsol (u. ti) — Volume — 2hA.ru - 7rA 2 Lonw]/(4/3 nti 3 ) . 



Risulta poi : 



(5) Volum u = lim Volumsol (u, h); quindi: 

 Rendiconti. 1922. Voi. XXXI, 2° Sem. 12 



