- 82 — 



« Se è possibile fissare il campo di variabilità per h in modo che valga 

 la (1), allora il coefficiente di h° dà il volume di u , quello di 2h l'area, 

 quello di -nh 2 la lunghezza ed infine quello di 4/3 7t/j 3 la curvatura». 



Nei casi ordinari le definizioni qui date coincidono evidentemente con 

 quelle proposte da tutti gli altri autori. 



2. Ciò premesso vengo alla dimostrazione della formola di Steiner ( x ) 

 a cui accennavo dianzi. Tale formola serve a calcolare il volume del solido 

 compreso fra due superficie parallele. 



Lo Steiner la ricava partendo dalla considerazione di superfìcie polie- 

 driche parallele ; io ne darò qui un'altra dimostrazione semplice e generale. 



Sia : 



s = f(x\ y) , 



in cui f ammette le derivate parziali di tutti gli ordini che occorreranno, 

 l'equazione d'una superfìcie o\ Una superfìcie siffatta la dirò talvolta re- 

 golare. Siano X,T,Zi coseni direttori della normale nel punto (x,y.z} 

 di e , ed h un numero reale assoluto; allora indico con a' la superfìcie pa- 

 rallela a a descritta dal punto di coordinate x',y',z' tali che: 



x' = x + hX; y' — y + hY; z' = z+liZ. 



Con X' x , X' y , X' z , ecc. indicherò rispettivamente le derivate parziali 

 di X rispetto ad x , ad y , a z , ecc.; e con de e dcr' gli elementi d'area 

 nei punti corrispondenti (x , y , s) ed (x' , %j , s') . Allora, per il noto teorema 

 sulla trasformazione degli integrali multipli (Lagrange a. 1773), se ai vo- 

 lumi ed alle aree si dà un segno: 



da' _à(x\y\s') 

 d<r d(x,y,3) 



1 4- hX'tc , 



hX', 



, 



h Y' x , 1 + h Y' y , 



hZ' X , hZ'y ,1 



. = 1 + h fjr.+ T'y) + hHX' X Y'y— X'y Y' x ) . 



Ma se con H ed K si indicano rispettivamente la curvatura media e 

 la curvatura totale di cr, si ha: 



quindi : 



(6) 



H — X x ~\~ Y y e K. — X x Y y X y Y x ? 

 da' = (l hH-{- h 2 K) d<r. 



Dalla (6) integrando si deduce che il volume V del solido compreso 

 fra le due superfìcie a e a' è dato da: 



(!) J.Steiner, Uber die parallele Flàchen (a. 18iO)\Gesam. Werke, 2 Bd., pp. 174-176). 



i 



