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(7) V= hf&if + h i /2 fffd(T -f h 3 /BJK da, 



che è la forinola di Steiner (*). 



Una formola analoga alla precedente, si ha per il calcolo dell'area com- 

 presa fra due linee parallele piane. 



Se si indicano con ds e ds' gli elementi d'arco in due punti corrispon- 

 denti su due linee parallele piane L ed L' alla distanza h , e con q il raggio 

 di curvatura di Z, si ha: 



(8) ds' = ds(l + A/e); 



e quindi l'area S compresa fra le due linee parallele è data da: 



(9) S=hfds + h 2 /2fds/Q(*), 



In un'altra Nota calcolerò il volume compreso fra due superfìcie paral- 

 lele con punti singolari (spigoli, vertici, ecc.) ed applicherò il risultato 

 alla determinazione della lunghezza d'un solido con punti singolari; qui, 

 invece, enuncerò soltanto alcune proprietà che sono conseguenze immediate 

 delle mie definizioni e del teorema di Steiner. 



Sia x il solido racchiuso dalla superficie a considerata dianzi, solido 

 che distinguerò con il qualificativo di regolare. Allora: 



Il solido regolare x ha: area eguale alla metà dell'area del suo con- 

 torno ; lunghezza eguale a 1/(2 n) moltiplicato per l'integrale, esteso a 



(*) Tale formola nei trattati di Geometria differenziale si dimostra — notoria- 

 mente — con lunghi calcoli fondandosi sulle relazioni fra le grandezze fondamentali di 

 1° e di 2° ordine. 



( 2 j Ai concetti di lunghezza e di curvatura d'una linea piana si può giungere anche 

 rifacendo nel piano delle considerazioni analoghe a quelle fatte nello spazio per giungere 

 alle definizioni generali date nel n. 1. 



Infatti: Sia a un piano contenente la figura finita u; allora se si indica con 

 « sup a (w , h) » la figura costituita dai punti di a la cui distanza da u è minore od eguale 

 ad h, facendo il calcolo materiale, si verifica che: 



Ar u = lim Area sup a (w , h) , 



Lon u = lim [Area sup (a , h) — Ar u ]/(2h) , 



Curv u = lim [Area sup a (u , h) — Ar u — 2 h Lon wl j{n h") , 

 h »0 



ove il simbolo « Area » ha nel piano significato analogo a quello del simbolo « Volum » 

 già usato nello spazio. 



In modo analogo ed ovvio si possono estendere le definizioni del n. 1 alle figure 

 o campi ad n dimensioni. Per una tale figura, avrà quindi senso parlare di curvatura- 

 integrale, lunghezza, area, volume, ecc. 



