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Geometria. — Sul parallelismo di Levi-Civita. Nota di G. Vi- 

 tali, presentata dal Corrispondente Gino Loria i 1 )- 



Nella presente nota mi riferisco alla nozione di parallelismo introdotta 

 dal Prof. Levi-Civita ( 2 ) e mi domando: 



Dato uno sparlo S„ ad n dimensioni, esistono in esso degli spasi ad 

 n-1 dimensioni in cui il parallelismo lungo una loro curva qualsiasi coin- 

 cide col parallelismo in S„ lungo la stessa curva ? 



Sia S„_, uno di tali spazi e r una sua geodetica. Le tangenti a jT sono 

 parallele lungo r in S,,-! ( 3 ); perchè lo siano anche in S n occorre che r sia 

 geodetica di S n ( 4 ). Dunque perchè un S„_, soddisfi alle condizioni richieste 

 è necessario che tutte le geodetiche in siano geodetiche in S„ o in altri 

 termini occorre che esso sia uno spazio geodetico in S„ ( 5 ). 



lo dico che questa condizione è anche sufficiente. 



Sia 



n 



(1) ds 2 -- y a rs dx r dx s 



il quadrato dell'elemento lineare di S n . 



Se S f( ammette uno spazio geodetico S„_, , noi possiamo immaginare 

 scelte le coordinate curvilinee in modo che questo S„_, abbia l'equazione 

 x n = . Indichiamo con a rs ciò che diventa a rs quando in esso si pone x n = 0. 

 Il quadrato dell'elemento lineare di S„_, sarà dato da 



n-l 



(2) da* = y_ rs a% dx r dx s . 



i 



(*) Pervenuta all'Accademia il 18 agosto 1922. 



( 2 ) T. Levi-Civita Nozione di parallelismo in una varietà qualunque e conseguente 

 specificazione geometrica della curvatura riemanniana. Rendiconti del Circolo Matematico 

 di Palermo, pag. 173-205.' 



( 3 ) T. Levi-Civita, 1. c. § 7, pag. 183-184. 

 T. Levi-Civita. 1. c. § 7, pag. 183-184. 



(') v. L. Bianchi. Lezioni di Geometria differenziale, 2 a edizione. Voi. 1°, cap. XIII. 

 § 188, pag. 424. 



