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I simboli di Christoffel di 2 a specie relativi alla forma (2) si otter- 

 ranno dai corrispondenti della forma (1) quando si pone«in essi x n = e 

 li indicheremo con 



j"J° (r,s.*=l,2,...»-l). 



Poiché, tutte le geodetiche di S„_i sono geodetiche in Sn e per queste 

 geodetiche deve essere x n = , si avrà 



"y 1 ( ri f dx r dx t _ Q { l ) 

 ( n j ds ds 



e poiché in un punto qualunque di S„_i una geodetica di S„_i può avere 

 qualunque direzione, sarà 



(3) [»f"° (r,*"=l t 2, i ..«— 1). 



Le equazioni di parallelismo in S,,-! lungo una sua curva C qualunque 



sono 



dove £ x , |* , ... £ n_1 sono i parametri di direzione in S n -i di un sistema di 

 parallele in S„_i lungo C. Considerando queste direzioni in S« si ha £ n = , 



dx„ 



inoltre per la curva C considerata in S„ è x n = e — . Per queste 



condizioni e per le uguaglianze (3) le f 1 , £ 2 , ... , = soddisfano le 

 condizioni di parallelismo lungo G in S„ 



Resta così dimostrato che condizione necessaria e sufficiente perchè in 

 uno spazio S„-i di S„ parallelismo lungo qualunque curva C di S n -\ 

 coincida col parallelismo lungo la stessa curva C in S„ è che S»_i sw 

 spazio geodetico di S„. 



(!) Poiché deve essere 



^ <rt I w i rfs ds 



v. L. Bianchi. Lezioni di geometria differenziale, 2 a edizione, voi. 1, § 157, pag. 339. 

 ( 2 ) T. Levi-Civita, 1. e, pag. 179. 



