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NOTE PRESENTATE DA SOCI 



Analisi. — Sulla integrazione di una serie di funzioni ra- 

 zionali. Nota di Giuseppe Belardinelli, presentata dal Socio 



S. PlNCHERLE (*)• 



In una Nota precedente ho studiato le serie della forma 



ti — rr. 



(1) /(x) = s 



«~ [x — [X — a 2 ) •■• {x — «„) 



nel caso che i punti a { , a 2 , ■•• , a n siano su una circonferenza e con 

 centro nell'origine e raggio uno e formino su questa un aggregato denso; 

 ed ho dimostrato che, sotto certe condizioni a cui debbono soddisfare i coef- 

 ficienti c n , la circonferenza è una linea singolare essenziale p^r la (1), ed 

 inoltre che essa converge assolutamente ed uniformemente sui raggi di conver- 

 genza di Borei oltrepassanti la detta circonferenza. In questa Nota mostro, ana- 



n=oo ^ 



logamente a quanto ha fatto Gaston Julia ( 2 ) a proposito delle serie T_ — , 



che, integrando lungo cammini convenienti, dalle serie (1) si ottengono 

 funzioni monogene nel senso di Borei, multiformi non analitiche in cui 

 l'insieme delle determinazioni in ciascun punto non è numerabile, in con- 

 trapposto al teorema di Poincaré-Volterra per le funzioni analitiche, il quale 

 teorema dice che tutte le funzioni analitiche multiformi non possono avere, 

 in ciascun punto del loro campo d'esistenza, che dei valori formanti un in- 

 sieme numerabile. 



Consideriamo una serie della forma (1) ove a x , a 8 , ■■■ , a n , ••■ si trovino 

 su una circonferenza c di centro nell'origine e raggio uno. e formino su 

 questa un aggregato denso. 



Supponiamo che i coefficienti c„ siano determinati in dipendenza ai nu- 



»=OD 



meri u n di cui alla Nota precedente, tali cioè che y_ u n sia convergente, ed 

 inoltre che sia 



Un 



(2) k V u h <c n < 



t 1 ) Pervenuta all'Accademia il 28 settembre 1922. 



( 2 ) Julia, Comptes Readus de V Acadèmxe des Sciences, t. 174 (6 février 1922), 

 pag. 370. 



