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Se consideriamo la serie dei residui delle singole frazioni relative ad 

 un unico punto a p , si ha, per quanto si è visto nella Nota precedente, che 

 è convergente, onde potremo togliere la parentesi nel secondo membro della 

 (3) e si avrà, se a p ,a t ,-- , a s , sono i poli interni al contorno l x l 2 , che 



J_ (2 g n ) = g> p (a p ) g> t (a t ) -j \- g> s (a s ) , 



ra=l 



essendo 



9p( a P ) = Cp 



Cip (*p + \ (dCp a p-i-ì) { a p Kp + ì) 



+ 



ed analogamente per le altre. 



n=oc 



Ora, se (2 q„) è, qualunque siano i cammini di integrazione, diversa da 



zero, il valore di due integrali, lungo questi cammini partenti dall'origine e 

 terminanti in un punto x esterno alla circonferenza c. sarà sempre diverso 

 e si avranno nel punto x tanti valori per quanti raggi distinti partenti dall'ori- 

 gine permettono di attraversare la circonferenza |cc| = l. 

 Ora, essendo per le (2) 



\9p( a p) + 9p+\ ( a p+i) 



perchè 



■•■ 1^ \vp( a p) \ + I <?P+i K+i) + ••• < 



Cp-ì -f- c p -\- ■■■ < <J jT< ~]~ c p-i < 9p-\ ( a p-i), 



+ 



CC p OCp + ! (Up — a p+ \)(ce p — cc p+t ) 



+ 



<z e * 



k — 1 



9p( a p)\> J. c p . (P= 1,2, •■•,«,•■■) 



siamo sicuri che le (3) sono sempre diverse da zero qualunque siano i cam- 

 mini di integrazione, cioè saranno diversi i valori della funzione integrale 

 F(/) per tutti i cammini distinti seguiti per andare al punto x fuori della 

 circonferenza C. 



L'integrazione delle serie (1), trattate nelle due Note, ci hanno dunque 

 dato, mediante integrazione, funzioni monogene multiformi non analitiche 

 aventi un insieme non numerabile di determinazioni in ogni punto x. 



