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Si ha, per la H 3 di Biemann, 



(17) 



j(k* — l) cd 3 \ =.(k* — l)a% 



la quale esprime, in sostanza, che : i simboli (ab , ed) a quattro indici 

 formano un sistema covariante 



Infatti. Per formale note [cfr. anche nota (*) pag. 75] si ha : 



{ a . (k* — 1) X 3 \ = X ] Kg . a . (k* — 1) X 3 . a , o< 2 > { = 

 = %' J «V- 1 . (k* — 1) A 3 . a , a' 2 ' { = a' . o- 1 . K' j (k* — 1) A 3 , <r (2) { . <s 



che per la (15), e la nota i 1 ) pag. 75, dimostra la (17). 



5. Ed ora indichiamo brevemente come si possa risolvere una questione 

 che presenta attualmente un grande interesse. Si ritiene, generalmente, che 

 i metodi assoluti (senza coordinate) del calcolo vcttoriale-omografico non 

 bastino per trattare la geometria delTS» curvo, e sia necessario ricorrere 

 al calcolo differenziale assoluto con coordinate generali. Vedremo ora fa- 

 cilmente che ciò non si verifica. 



Se fi u è una H„ , allora i numeri 



(18) a,X 



variando a tra i vettori dell' S», sono in numero infinito. Ma scegliendo, 

 comunque, i vettori a in un sistema unitario ortogonale dell' S„ , allora i 

 numeri (18) sono in numero di n u+1 [e i (18) generali si esprimono linear- 

 mente mediante questi u u+1 ~] e costituiscono, precisamente, un ordinario si- 

 s/ema di ordine u -\- 1 , naturalmente relativo al fissato sistema di vettori 

 coordinati. Viceversa un tale sistema dipende da una H M e dal sistema 

 coordinato. Si è così data definizione assoluta dei sistemi di ordine u + 1 . 



Il sistema di ordine u -f- 1 individuato da fi u è, secondo il comune 

 significato, covariante controvariante, quando, essendo fi'„ la trasformata 

 di f.i a , passando da P a P' , si ha 



segue che anche la covarianza e controvarianza acquista forma assoluta, 

 dipendentemente dal passaggio di P a P' . 



U J 



ovvero /u u = <I>* /li u ; 



(') Vedremo tra poco che <!>,,., «I»* dànno l'ordinaria covarianza e controvarianza. 



