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Consideriamo ora due operatori binari I7 p , Tip che definiamo ponendo 



[ Up(jtt M , /x v ) Xi ... x M _p yi .., Yv-p == 



(19) Si R(f.i u x, ... x u -p ii ... , fi v } i ••■ JVji ii ••• i P ) 

 ( per : p ^ . m> , y > , p^ u ,p^ v 



^ np(^( M , jU,;) Xj ... x !( -p j'i ••• yi+i-p === 



(20) < Sj jU,, x, ... x„- ?J ii ... ip . ij X /x v yi ... Vf+t-jj i 2 ... i,, 

 ( per : p >■ , u > , v ^> , p << u , p •< v 



essendo x , y vettori arbitrari e i vettori di un arbitrario sistema unitario- 

 ortogonale, e arbitrario poiché si ha facilmente [insieme ad altre notevoli 

 proprietà che dànno le ("21). (22)] che , /n v ) , Tl P (fi u - Hv) risultano 



indipendenti dal sistema i [e sono, del resto, ed ovviamente, indipendenti 

 da x , y]. 



È facile vedere che le n p ( l u, ( , u x \ , W' p (fx u . /(,•) ohe sono entrambe delle 

 H„^4-i- S p . individuano il sistema di ordine u-\-v-\-2 — 2p che, con i 

 metodi ordinari, si ottiene moltiplicando o componendo i due sistemi indi- 

 viduati da //„ e fi v 



la modo assai semplice si dimostra che: 



(21) ^v,,^^ 



(22) O f ,,;c n p {fi u fi v ) = W^r rjiu , K' <i v ^C u '- p) , KC- 1 ^"") ( 

 le quali dànno come casi particolari le formule 



(23) n (/,„,/(,) = n {$*/»„, $*/u«| e analoga per 0>* , 



(24) 0* ll p (/t„ , ,Up_!) = n p j<I>* , <1>* /t p _,j e analoga con scambio di d>* e<D + 



che esprimono note leggi di covarianza, controvarianza, saturazione degli 

 indici. Si noti che, contrariamente a quanto si fa con i metodi ordinari, 

 non si deve constatare a priori la covarianza e la controvarianza. 



t 1 ) E la n che corrisponde alla moltiplicazione ordinaria. Per la , con p>0, 

 si ha una nuova legge di saturazione degli indici. Si noti che U p (fx u+p , fi v+p ) è una 

 H« + i,+j e poiché u -f- v -f- 1 non è funzione di u -\- p e v-\-p l'indice p a II è neces- 

 sario. Si può esprimere la 11^ in funzione di Ilj, , e viceversa: n^ju^ , ^u,,) = KU p (/u K u u^) 

 con ^ funzione di t u v ; ma la forma è molto complessa e quindi inutile. 



