Dalla formula già citata [cfr. ( b ) , p. 171, (5)] che dà il da, si ot- 

 tengono le derivate covarianti e controvarianti per sistemi qualunque. 

 La forma è complessa, ma meno dell'ordinaria. Non trasformando P in P' 

 queste derivate non si presentano. 



Ciò che precede di questo n. 5 ha l'unico scopo di collegare i proce- 

 dimenti senza coordinate a quelli, ordinari, con coordinate. È probabile che 

 nel campo assoluto non si abbi) bisogno di considerare II J5 e 17^ . 



Matematica. — SuW integrazione per parti tra limiti infiniti. 

 Nota del prof. 0. Nicoletti, presentata dal Socio L. Bianchi 



1. Siano <p(x),f(x) due funzioni della variabile reale x, definite per 

 x > a . per le quali in ogni intervallo (ah) (con /;>>«i valga la formula 

 d'integrazione per parti: 



rb i \b fb 



(A) <p{x) f\x ) dx = f{x) <p{x) — | <p'(z) f(x) dx . 



[ Ja -a 



Facciamo in questa tendere b a -j- co ; è noto che. ove due termini ten- 

 dano a limiti determinati e finiti, anche il terzo tende ad un limite deter- 

 minato e finito, e si ha la formula d'integrazione per parti tra limiti infiniti, 

 che con notazioni evidenti scriviamo : 



/ , 00 ^ 00 



(f(x) f'{x) dx — ì f {%) <p{%) ( — y'I^) f(-z) dx . 



Quando invece nella (A) si sappia che uno solo dei tre termini tende, 

 per b->-\-co, ad un limite determinato e finito, non si può, senz'altro, 

 trarre da essa alcuna conclusione; è quindi interessante lo studio di alcuni 

 casi, nei quali, ponendo la condizione che uno solo dei termini della (A.) 

 tenda per b->-\- co ad un limite determinato e finito, e imponendo alle 

 funzioni f{x) , (p(x) altre semplici condizioni, si può affermare che anche un 

 altro termine della (A) tende, per !> -» -f- oo , ad un limite determinato e 

 finito, e quindi vale la formula (B). 



2. Siano perciò f(x),<p(x) due funzioni, per le quali: 



1) in ogni intervallo (ab), con b^>a, valga la formula (A); 



2) per x > a sia y>(x) > , <p'(x) < (oppure g>(:r) < , <p'(x) > 0) ; 



reo 

 <p(x) f'(x)dx sia determinato e finito. 



>- / a 



{') Pervenuta all'Accademia il 2 agosto 1922. 



