In questa ipotesi si ha il teorema: 



<p'(x)f(x) dx ; 



a 



b) il prodotto f{x)(f(x) tende per # -> -f oo ad un limite deter- 

 minato e finito (che indichiamo con f {°°) g>{°°)) ; 



c) si ha la formula (B) d'integrazione per parti: 



(B) <p{z)f\x)dx+\ <p'(x)f(x)dz = f(<x>)(p{°c)-f(a)<p(a). 



J a •■ ' a 



3. Per dimostrare il teorema enunciato, supponiamo, per fissare le idee, 

 sia 5p(xc) > , <p'(x) < ; (l'altro caso si ha cambiando g>(x) in — <p{x)) 

 e sia c un numero qualunque >« ; per x > c si avrà: 



(1) \ X <f{x)f'{x)dx + f{o)(p(c) = f(x)(f(x) — )g>'{x)f(z)dx . 



Il primo membro della (1) tende (per ipotesi) per x -» -j- 00 ad un 

 limite determinato e finito M; altrettanto è dunque del 2° membro. 



Sono ora possibili due casi: 



a) per x > c la /■(#) ha un segno costante, è ad esempio f(x)> 0. 



In questo caso i due termini del 2° membro della (1) non sono negativi, 

 per le ipotesi fatte; è dunque M>0; e detto Mj un qualunque numero 

 maggiore di M, si potrà determinare un numero x A > c, tale che per x > x x 

 il primo e quindi anche il secondo membro della (1) siano minori di M, ; quindi 



anche ciascuno dei due termini (non negativi)/^) tp{x) , — j y> {x) f(x)dx 



/"oc 



sarà per x>x x minore di Mi . Ne segue che l' integrale — ) g>'(x) f(x)dx , 



quando x->-\-cc, è limitato superiormente, e poiché esso cresce con x. 

 tenderà, per x -> -f~ 00 < a( l un limite determinato e rìnito N, non maggiore 

 di Mi; cioè, poiché M( è un qualunque numero maggiore di M, sarà N <M. 

 Perciò, per la (1), anche il prodotto f(%)y>(x) tenderà, per x->-{-oo. ad 

 un limite determinato e finito P = M — N>0, che indichiamo anche con 



fl°o) ,(«,). 



Facciamo allora nella (1) tendere x a -f - oo ; aggiungendo ad essa la 

 uojuaoflianza : 



f(a)tp{a) —f{c)<p(c) + r<p(x)f'(x)dx + fV» f{x)dx = , 

 abbiamo la (B). 



