— 186 — 



c) Supponiamo ora che, per qualunque c>a, la f(x) carabi segno 

 per x> c: allora la f(x) si annullerà anche in punti a destra di qualunque 

 numero c> a . 



Poiché l'integrale ( <p{x) f'{x) dx è, per ipotesi, determinato e finito, 



• ' a 



preso e positivo arbitrario, si potrà determinare un numero b^>a, tale che 

 per due valori qualunque x''~^>x'>b, si abbia 



| j / (f(x)f'(x)dx | < a . 



Sia ora c uno zero di f(x) a deatra di b; sia cioè c > b ,/'(<•) = 0; 

 dico che per qualunque valore di x, maggiore od uguale a c, è anche: 



(3) | f{x) g>{x) |0: 

 s/ quindi: 



(4) lira f(aj)g>(tf) = 0. 



a- —5* + oo 



Sia infatti £ un valore della aj, non minore di c\ se è /(£) = 0, la (3) 

 è evidentemente verificata per #= £; sia dunque f(£) 4=0- e > P ei ' fissare 

 le idee, sia /(0^>0. Per la continuità, è possibile determinare un intorno 

 a sinistra di £ , (f — (f , £) nel quale la f(.v) si manterrà positiva, sarà cioè 

 per f — <f < x < £ , f(x) > ; e sarà anche £ — ó c . Consideriamo ora 

 tutti i numeri rj < £ , tali che nell'intervallo (ry£) è sempre f(x)^>0; e 

 sia c, il limite inferiore di questi numeri rj; sarà < Ci > s — ^ <C £ > e 

 sarà f(c l ) = (); infatti la f(x) è continua nel punto n x ed in ogni intorno 

 (Ci , C\ -j- « <£) a destra di prende valori positivi, in ogni intorno [c x — s , c,) 

 a sinistra di ^ prende anche valori nulli o negativi; è quindi f(c l ) = 0. 



Facciamo allora nella (1) e = <?!,# = £; abbiamo: 



f\x) dx = 9.(0 /"(£) — f e <p'(x) f{x) dx . 



Ora c, e £ sono maggiori di b ; il primo membro di questa uguaglianza 

 è dunque numericamente minore di <r; nel secondo membro i due termini 



9>(f )/"(£) f — } <p\x)f{x)dx non sono negativi; ciascuno di essi è quindi 



anche minore di cr; si ha cioè la (3), per x = £ . 

 Vale dunque la (4). 



