J->00 

 g>(x) f (x) dx 

 c 



tende ad un limite determinato e finito; il prodotto f(x)(p(x) tende a zero; 



esiste quindi anche l'integrale <p'(x) f(x)dx ; e si ha perciò la (B), nella 



quale è inoltre f(°°) g>(°°) = . 



Il teorema enunciato è così dimostrato. 



4. Se, quando f(r) ha nn segno costante, si aggiunge la condizione 

 che tp(x) tenda a zero per x -> -f- <x , è anche nel primo caso f(°°) <jp(°°) = . 



Infatti, in questo caso, abbiamo visto che il prodotto f{x)q>{%) tende, 

 per ,/->-f- co. ad un limite finito P, non negativo; sia ora, se è possibile, 

 P^>0; preso un numero P, positivo, minore di P, potremo determinare e 

 in modo che per x > c sia f{x) g>(x) > Pi ; per x>c abbiamo allora: 



- PV(*) A») = - f " nrr A *) ^ > - Pi log 



e quindi questo integrale, per x -» -j- co , tenderebbe all'infinito, mentre 

 abbiamo visto che tende ad un limite determinato e finito. È dunque 



P = /'(oo) S p(oo) = o. 



Se dunque alle 1) 2) 3) del n. 2 si aggiunge la condizione 

 4) è lim (p(x) = 



X — > 30 



è anche lim f(as) <p{x) = e la (B) diventa: 



X — > 30 



(B)' I (p'x)f'(x) dx + I sP r (ac) f{x) dx + /(«) = . 



■ a - a 



5. Ponendo $p(a;) = g -a! , si ha il teorema di Hardy (*): Se f(x) è una 



funzione della variabile reale x, che per x >.0 ha una derivata /"(a;) deter- 

 ^OO 



minata e l'integrale ) e~ x f'(x)dx è determinato e finito, anche l' integrale 



J 



J~ QO 

 e~ x f(x) d x ha significato, è inoltre lim e~ x f(x) = e si ha la formula: 

 X — > + 00 



roo /^oo 

 e- x f{x)dx = I tr x f{x)dx. 



i}) Cfr. Hardy, Rescarches in the tlipory of divergent series and divergerti integrate. 

 (Qnaterly Journal of Mathematica, voi. XXXV, 1904, pag. 22 e segg.). 



