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6. Un altro caso, nel quale vale ancora la (B), ammettendo (al più) 

 che imo solo dei suoi termini abbia significato, si ha dalle considerazioni 

 seguenti : 



Per b > a valga la (A) ; inoltre le f{x) . g>(x) siano ambedue per x> a 

 positive (od anche non negative) e monotone concordanti, cioè ambedue cre- 

 scenti o decrescenti; tale sarà allora anche il prodotto f(x)(p(x). 



Se le f(x),<p(x) sono positive decrescenti per x>a, sarà per x>a, 

 f'(x) < , g>'(x) < ; e scritta la (A) sotto la forma : 



(A)' | <p\x)f(x)dx -f | X (p{x) f'(x) dx = f(x) <f{x) — f(a) <p{a) 



i due integrali del primo membro sono negativi e decrescenti per x>a; 

 nel secondo membro il prodotto f(x) <p{x) tende per x -» co ad un limite 

 determinato e finito, non negativo; ciascuno dei due integrali è quindi limi- 

 tato inferiormente e perciò convergente per x-^-^co; vale dunque la (B). 



Se invece le f(x) , (p{x) sono positive crescenti per a; > a, è per x>a 

 f"(x)>o , (p'{x)>o; i due integrali del primo membro della (A)' sono 

 positivi e crescenti con x; e se si ammette che il prodotto f(x) (p(oc) , o , ciò 

 che è lo stesso, le due funzioni f(x),<p(x) tendano per x->-\-co a limiti 

 determinati e finiti, fi 00 ) , <jp(°°) (necessariamente positivi), ciascuno dei due 

 integrali e limitato superiormente ed è quindi convergente per a?->-J-oo; 

 vale dunque ancora la (B). 



Cambiando segno ad una o ad ambedue le funzioni f(x) , <p(x) si hauno 

 evidentemente altri casi di validità della formula stessa; essi possono tutti 

 riunirsi nell'ipotesi che le funzioni | /'(.() | , j q(x) | siano monotone concor- 

 danti, per x>a. 



La formula (B) vale dunque ancora, quando 



1'. la (A) valga per qualunque b>a; 



2'. le funzioni | f(x) | , | y>(x) j siano monotone concordanti per x > a; 

 3". le \f(x)\ , |<jp(a;)|, convergano, per #->-j-oo, a limiti deter- 

 minati e finiti. 



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