le potenze 1 , 6 , Z , •-• , ti' 1 ' 1 di ti si esprimono per gli interi t»f della base 

 mediante una sostituzione lineare a coefficienti interi Cu del tipo 



C n (O l -\- Cu 0) 2 -f- — \- c w a> n 



Cu », + Cu (O t -\- — -}- C 2 n <O n 



o 3i <»i + c 3t o) t -f- ■■■ -}- C 3n ft>„ 



f d"- 1 = Cm W, -H <?, i2 W2 + ••■ + Cnn(O n ■ 



Il modulo C di questa sostituzione, cioè il determinante 



C = j Cu, j , 



il cui quadrato eguaglia il quoziente del discriminante di ti pel numero 

 fondamentale D del corpo, è detto da Dedekind ( x ) l'indice dell'intero ti nel 

 corpo K(ft), e Dedekind ha dimostrato che. se un numero primo p non 

 divide l'indice G di ti , la risoluzione del numero primo p nei suoi fattori 

 ideali primi si ottiene, con procedimento razionale, decomponendo, rispetto 

 al modulo p, il polinomio intero f(x) nei suoi fattori irriducibili (m. c. § 2). 

 In particolare, ed è questo il caso che a noi qui interessa, se il numero 

 primo p non divide C e la congruenza 



f(x) = (mod. p) 



ammette una radice £ , l'ideale P massimo comun divisore dei due interi 



p , ti — f 



ha la sua norma = p , NP=jo, ed è quindi un ideale primo di primo 

 grado, divisore di p. 



Dal teorema A) segue l'esistenza di infiniti numeri primi p. che non 

 dividono C, e per ciascuno dei quali la congruenza (I) ammette almeno una 

 radice, onde si conclude: 



B) In ogni corpo algebrico K(ti) esistono infiniti ideali primi di primo 

 grado. 



Terminiamo coll'osservare che, se si prende in particolare per K(0) il 

 corpo di grado <p(m) delle radici m m ° dell'unità [m qualunque), assumendo 

 per ti una radice primitiva m ma , l'indice C è = 1 , e pel risultato classico 

 di Kummer gli ideali primi di primo grado in K(ti) sono tutti e soli i di- 

 visori dei numeri primi }> che sono = 1 (mod. m). La dimostrazione elemen- 

 tare esposta si cangia quindi in quella ben nota colla quale si prova che 

 la progressione aritmetica mx -f- 1 contiene infiniti numeri primi ( 2 ). 



(*) Ueber den Zusammenhang zwischeu der Tkeorie der Ideale und der Tkeorìe der 

 hòheren Congruenzen (Abhandlungen der Gottinger Gesellschaft 23" Bd. 1878). 

 ( 2 ) V. p. e. Kronecker, Vorlesungen ùber Zahlentheorie, I er Bd. 8. 440-441. 



I = 



ti = 



(6) x e* = 



