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Matematica. — Una proprietà fondamentale degl'integrali 

 doppi di P specie. Nota del Corrispondente Francesco Severi. 



Per gl'integrali abeliani di 1" e di 2 :i specie vale la proprietà che se 

 un integrale di l a o di 2 a specie ha tutti i suoi periodi nulli esso riducasi 

 rispettivamente ad una costante o ad una funzione razionale. La stessa pro- 

 prietà vale per gl'integrali semplici (picardiani) di l a e di 2 a specie ap- 

 partenenti ad una superfìcie algebrica. In qual misura questa proprietà può 

 trasportarsi agl'integrali doppi di l 11 e di 2 ;1 specie appartenenti ad una 

 superficie? Per gl'integrali doppi di 2 ;i specie è noto che un integrale sif- 

 fatto della forma: 



(ove Q sia un polinomio aggiunto alla superficie /, di equazione f(x , y , z) = 0), 

 il quale abbia nulli tutti i periodi relativi a cicli (finiti) a due dimensioni, 

 riducesi necessariamente al tipo 



in cui A , B son polinomii aggiunti ad f (e le derivate son fatte tenendo 

 conto che z è funzione implicita di se ,y)( l ). Gl'integrali del tipo indicato 

 nella teoria degl'integrali doppi fanno, anche da altri punti di vista, l'ufficio 

 analogo a quello delle funzioni razionali nella teoria degli integrali semplici. 



Per gl'integrali doppi di l a specie vale una proprietà assolutamente 

 identica a quella valevole per gl'integrali semplici di l a specie; e cioè: un 

 integrale doppio di P specie che abbia tutti i periodi nulli è una costante. 



La dimostrazione di questa proprietà costituisce l'oggetto della pre- 

 sente Nota ( 2 ). 



1. Sia 



f 1 ) Picard et Simart, Throrie des fonctions algébriques de deux variables indépen- 

 dantes (Paris, Gauthier Villars, 1906), t. II, p. 365. Ved. pure Lefschetz, Algebraic sur- 

 faces, iheir cycles and integrals (Annals of mathematics, t. XXI, 1920, pag. 246). Vi- 

 ceversa, se il numero-base q della superficie / vale 1, ogni integrale del tipo considerato 

 ha nulli tutti i periodi relativi a cicli al finito; altrimenti ci vogliono altre condizioni: 

 ved. Lefschetz, 1. c. pag. 254. 



( 2 ) Alla probabile validità della proprietà qui dimostrata ebbe in passato occasione 

 di accennarmi il sig. Lefschetz. 



