un integrale doppio di l ;l specie, appartenente alla superficie f di ordine m; 

 talché g> è un polinomio d'ordine m — 4 aggiunto ad f . Supporremo, poiché 

 non è restrittivo, che la f sia dotata di singolarità ordinarie (linea doppia 

 e punti tripli) e che gli assi coordinati sieno disposti genericamente rispetto 

 alla superficie. L'ipotesi da cui noi partiamo è che ogrnì periodo di I sia nullo 

 (e basta anzi riferirsi ai soli periodi relativi a cicli a due dimensioni situati 

 tutti al finito). 



Sul piano r) , ove imaginiamo distesa la variabile complessa y , segnamo 

 i punti 6j , , ... , b v corrispondenti a quei valori b tali che il piano y — b 

 sia tangente ad f\ e consideriamo la ricmanuiana ad m fogli B.(y) , che rap- 

 presenta la curva f(x , y , z) = , per ogni dato y . Su questa riemanniana, 

 quando y è prossimo ad uno generico, b . dei suddetti punti, vi sono due 

 punti di diramazione M,N, che vanno a coincidere col punto di contatto 

 del piano y = b, quando y va a cadere in b: e che connettono gli stessi 

 due fogli di R(//) . Per le circolazioni di y attorno a b i punti M , N si scam- 

 biano fra di loro, e quindi il ciclo n . che, sopra uno dei due fogli cui sopra 

 si è alluso, circonda M,N, è un ciclo invariante di fronte alle circolazioni 

 di y attorno a b e si riduce ad un punto quando y va in b. 



Consideriamo l'area generata dal ciclo e quando y varia da h ad un 

 punto generico a del piano rj , descrivendo il segmento ba . È un'area 

 aperta / , che ha la forma di uu dito di guanto, colla punta del dito nel 

 punto di contatto del piano y = b , ed ha per contorno la posizione a a as- 

 sunta da a per y = a. Estendendo l'integrale ad una conveniente faccia di J 

 possiamo scrivere : 



Diciamo r„ il pez^o finito della riemanniana B,(a) , che ha per con- 

 torno a a . Esso, insieme a 1 , forma un ciclo chiuso a due dimensioni, e 

 quindi, per l'ipotesi che I abbia tutti i periodi nulli, viene: 



e poiché l'integrale di destra, essendo esteso ad un'area in cui y è costante (*), 



(!) Neil' area T a la funzione ? diventa infinita; ina ciò non dà noja alcuna, perchè 

 l'integrale (1) è finito in ogni area finita (Cfr. Picard et Simart, t. I, pag. 178). 



(1) 



in cui r a denota una faccia conveniente dell'area omonima. 

 La precedente relazione si scrive pure : 



