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è nullo, così risulta nullo l'integrale a sinistra della (1), e quindi anche l'in- 

 tegrale a destra. 

 Poniamo : 



■%) = r dx , 



ove è il periodo al ciclo a dell'integrale abeliano di ' T- 1 specie \ ^ dx , 



appartenente alla curva f(x , y , g) == , per y parametro. Risulterà, in forza 

 della il): 



R(y) dy = . 



Ora la l'unzione Sì(y) , perfettamente definita lungo tutto il cammino 

 d'integrazione, è olomorfa nell'intorno di y = b . Detto y un punto di questo 

 intorno, variabile nel segmento ha , poiché y può far le veci di a, la fun- 

 zione 



risulta nulla per ogni y , e quindi risulta pure ide liticamente nulla, nel- 



cItt 



l'intorno di b , la funzione iì(y) = • 



dy 



Come si sa i l ), un ciclo qualunque t di U(y) , quando y circola co- 

 munque sopra -> l , o è un ciclo invariante, oppure ritorna aumentato di una 

 combinazione lineare a coefficienti interi dei cicli del tipo a , relativi ai 



punti b . Poiché i periodi dell'integrale abeliano dx ai cicli o" , sono, se- 

 condo si è ora dimostrato, tutti quanti nulli, il periodo dell'integrale stesso 

 lungo % sarà una funzione uniforme X //) in tutto il piano rj . E siccome 

 X(y) non può ammettere che singolarità logaritmiche o polari, trattandosi 

 di una funzione uniforme, non potranno aversi chele seconde; cioè Xiy) sarà 



una funzione razionale di y . Anzi, siccome la curva polare di —, , che è 



/ z 



l'intersezione di /"=(), f' z = 0, fuori della linea doppia di f, non è con- 

 tenuta nè tutta nò in parte in alcun piano y = cost. (attesa la genericità 

 degli assi) , così X(y) sarà finita per ogni y finito e quindi si ridurrà ad 

 un polinomio in //. 



(^•Picard et Simart, t. II, pag. 334. 



